Defina bola aberta e bola fechada.Represente graficamente.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos, em um espaço métrico (X,d), o que é uma bola aberta e o que é uma bola fechada, e em seguida apresentar uma representação gráfica (no caso mais comum, o plano R^2 com a métrica euclidiana).

Passo 2

Definimos a bola aberta de centro x0in X e raio r>0 como o conjunto de todos os pontos de X cuja distância a x0 é estritamente menor que r. Em símbolos:
Br(x0) ;=;,xin X mid d(x,x0) < r
Intuitivamente, é o “disco” sem incluir sua fronteira.

Passo 3

Definimos a bola fechada de centro x0in X e raio r>0 como o conjunto de todos os pontos de X cuja distância a x0 é menor ou igual a r. Em símbolos:
Br(x0) ;=;,xin X mid d(x,x0) <= r
Aqui incluímos também a fronteira do “disco”.

Passo 4

No plano euclidiano R^2 com d((x,y),(x0,y0))=raiz(x-x0)^2+(y-y0)^2, as representações são:
Bola aberta Br(x0):
. . . . . .  
. .
. interior .
. .
. . . . . .
(não inclui o contorno)
Bola fechada Br(x0):
*****  
  • *  
    
  • disco *
  • *  
    

(inclui o contorno, desenhado aqui em asteriscos)

Resposta

Definições e representações gráficas:
(a) Bola aberta de centro x0 e raio r:
Br(x0)=,xin Xmid d(x,x0)<r
(b) Bola fechada de centro x0 e raio r:
Br(x0)=,xin Xmid d(x,x0)<= r
Na reta ou no plano euclidiano, a bola aberta é o disco sem o contorno, e a bola fechada é o disco incluindo o contorno.

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