Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y, z)=(2 x, y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\qquad T(x,y,z)=(2x,y)
é bijetora. Se for bijetora, devemos determinar a transformação inversa; caso contrário, explicar por que não e, se for pertinente, exibir inversas à esquerda ou à direita. As informações dadas são: domínio \mathbb{R}^3, contradomínio \mathbb{R}^2, e a regra T(x,y,z)=(2x,y).

Passo 2

Vamos lembrar, com linguagem direta e sem floreio, o que cada termo significa.
  • Uma transformação linear é injectiva (injetora) se vetores diferentes no domínio têm imagens diferentes. Formalmente, T é injetora se
T(u)=T(v)\implies u=v.
  • T é sobrejetora (sobrescreve todo o contradomínio) se para todo w\in\mathbb{R}^2 existe v\in\mathbb{R}^3 tal que T(v)=w.
  • T é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Só as transformações bijetoras têm inversa linear de ambos os lados (uma aplicação inversa T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tal que T^{-1}\circ T=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^3} e T\circ T^{-1}=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2}).

Passo 3

Para testar injetividade é usual estudar o núcleo (kernel) de T, que é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio:
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
Impondo T(x,y,z)=(0,0) obtemos as equações
2x=0\quad\text{e}\quad y=0.
Da primeira, x=0; da segunda, y=0. Não há condição sobre z, então z é livre. Logo
\ker(T)=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Este núcleo contém vetores além do vetor zero (por exemplo (0,0,1)), portanto \ker(T)\neq\{0\}. Quando o núcleo é não trivial, a transformação não é injetora. Assim, T não é injetora.

Passo 4

Para fixar a ideia com um exemplo concreto de não-injetividade: calcule
T(1,0,0)=(2,0),\qquad T(1,0,3)=(2,0).
Aqui temos dois vetores diferentes em \mathbb{R}^3 com a mesma imagem, o que confirma na prática que T não é injetora.

Passo 5

Agora verificamos sobrejetividade (se T atinge todo \mathbb{R}^2). Dado um vetor arbitrário (u,v)\in\mathbb{R}^2, queremos achar (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 tal que
T(x,y,z)=(2x,y)=(u,v).
Isto leva ao sistema
2x=u,\qquad y=v.
Podemos escolher x=\dfrac{u}{2}, y=v e qualquer z\in\mathbb{R}. Como sempre existe tal escolha (por exemplo z=0), concluímos que todo (u,v)\in\mathbb{R}^2 tem pelo menos um pré-imagem em \mathbb{R}^3. Portanto T é sobrejetora.

Passo 6

Fazendo uma checagem com o Teorema da Dimensão (rank–nullity): \dim(\mathbb{R}^3)=3. Encontramos \dim(\ker T)=1 (porque \ker T é gerado por (0,0,1)), então o posto (rank) de T é
\operatorname{rank}(T)=3-\dim(\ker T)=3-1=2.
Como \operatorname{rank}(T)=2=\dim(\mathbb{R}^2), a imagem de T tem dimensão 2 e coincide com todo \mathbb{R}^2, confirmando a sobrejetividade.

Passo 7

Conclusão sobre bijetividade: T é sobrejetora mas não injetora. Para ser bijetora precisaria ser as duas coisas ao mesmo tempo; como não é injetora, T não é bijetora. Logo, não existe transformação inversa bilateral T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 que seja inversa de ambos os lados.

Passo 8

Observação didática extra (útil para a prova): embora não exista inversa bilateral, como T é sobrejetora existe pelo menos uma “inversa à direita” (uma seção) S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 tal que T\circ S=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2}. Um exemplo simples é escolher sempre z=0 ao levantar um vetor de \mathbb{R}^2:
S(u,v)=\left(\dfrac{u}{2},\,v,\,0\right).
Verifique facilmente que para todo (u,v)\in\mathbb{R}^2,
T\big(S(u,v)\big)=T\!\left(\dfrac{u}{2},v,0\right)=\left(2\cdot\dfrac{u}{2},\,v\right)=(u,v).
Note que S não é uma inversa à esquerda (isto é, S\circ T\neq\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^3}), porque T “perde” a informação do componente z.

Resposta

T não é bijetora: é sobrejetora e não injetora.
Não existe inversa bilateral T^{-1}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3.
Um exemplo de inversa à direita é S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 dada por S(u,v)=\left(\dfrac{u}{2},v,0\right), pois T\circ S=\mathrm{Id}_{\mathbb{R}^2}.

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