Verifique se são bijetoras as transformações lineares. Nos casos possíveis, determine as transformações inversas.
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação linear
é bijetora. Se for bijetora, devemos determinar a transformação inversa; caso contrário, explicar por que não e, se for pertinente, exibir inversas à esquerda ou à direita. As informações dadas são: domínio
, contradomínio
, e a regra
.
Passo 2
Vamos lembrar, com linguagem direta e sem floreio, o que cada termo significa.
- Uma transformação linear é injectiva (injetora) se vetores diferentes no domínio têm imagens diferentes. Formalmente,
é injetora se
-
é sobrejetora (sobrescreve todo o contradomínio) se para todo existe tal que . -
é bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Só as transformações bijetoras têm inversa linear de ambos os lados (uma aplicação inversa tal que e ).
Passo 3
Para testar injetividade é usual estudar o núcleo (kernel) de
, que é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero do contradomínio:
Impondo
obtemos as equações
Da primeira,
; da segunda,
. Não há condição sobre
, então
é livre. Logo
Este núcleo contém vetores além do vetor zero (por exemplo
), portanto
. Quando o núcleo é não trivial, a transformação não é injetora. Assim,
não é injetora.
Passo 4
Para fixar a ideia com um exemplo concreto de não-injetividade: calcule
Aqui temos dois vetores diferentes em
com a mesma imagem, o que confirma na prática que
não é injetora.
Passo 5
Agora verificamos sobrejetividade (se
atinge todo
). Dado um vetor arbitrário
, queremos achar
tal que
Isto leva ao sistema
Podemos escolher
,
e qualquer
. Como sempre existe tal escolha (por exemplo
), concluímos que todo
tem pelo menos um pré-imagem em
. Portanto
é sobrejetora.
Passo 6
Fazendo uma checagem com o Teorema da Dimensão (rank–nullity):
. Encontramos
(porque
é gerado por
), então o posto (rank) de
é
Como
, a imagem de
tem dimensão
e coincide com todo
, confirmando a sobrejetividade.
Passo 7
Conclusão sobre bijetividade:
é sobrejetora mas não injetora. Para ser bijetora precisaria ser as duas coisas ao mesmo tempo; como não é injetora,
não é bijetora. Logo, não existe transformação inversa bilateral
que seja inversa de ambos os lados.
Passo 8
Observação didática extra (útil para a prova): embora não exista inversa bilateral, como
é sobrejetora existe pelo menos uma “inversa à direita” (uma seção)
tal que
. Um exemplo simples é escolher sempre
ao levantar um vetor de
:
Verifique facilmente que para todo
,
Note que
não é uma inversa à esquerda (isto é,
), porque
“perde” a informação do componente
.
Resposta
Não existe inversa bilateral
Um exemplo de inversa à direita é