1. Dados os eventos A, B e C do mesmo espaço amostral, sabe-se que P(A \mid C)=1 / 3, P(B \mid C)=5 / 9, P\text{(C)}=1 / 2, P(A \cap B \mid C)=2 / 9, P\left(B \mid C^{c}\right)=4 / 9, P(A \mid B)=4 / 9, P(B \mid A)=2 / 3.
    Determine: P(A), P(B), P(A \mid B), P(A \mid C), P(B \mid C), P(A \cap B \mid C) e P(A \cup B \cup C)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as probabilidades abaixo:
  • P(A), P(B), P(A\mid B), P(A\mid C), P(B\mid C), P(A\cap B\mid C) e P(A\cup B\cup C).
Informações dadas (vou listar exatamente os dados que o enunciado fornece):
  • P(A\mid C)=\dfrac{1}{3}.
  • P(B\mid C)=\dfrac{5}{9}.
  • P\text{(C)}=\dfrac{1}{2}.
  • P(A\cap B\mid C)=\dfrac{2}{9}.
  • P(B\mid C^{c})=\dfrac{4}{9}.
  • P(A\mid B)=\dfrac{4}{9}.
  • P(B\mid A)=\dfrac{2}{3}.
Observação: alguns dos pedidos coincidem com probabilidades já fornecidas; mesmo assim vou recalculá-las/confirmá-las a partir dos dados marginais para garantir consistência e para ensinar o raciocínio passo a passo.

Passo 2

Relembrando duas definições essenciais (é importante entender bem antes de usar):
  • Definição de probabilidade condicional: \displaystyle P(X\mid Y)=\frac{P(X\cap Y)}{P(Y)}, desde que P(Y)>0. Aqui X e Y são eventos quaisquer.
  • Consequência imediata: \displaystyle P(X\cap Y)=P(X\mid Y)\,P(Y)=P(Y\mid X)\,P(X).
Vou usar essas igualdades para traduzir as probabilidades condicionais dadas em igualdades entre probabilidades marginais.

Passo 3

Introduzo notações para as probabilidades marginais desconhecidas:
  • Seja a=P(A).
  • Seja b=P(B).
  • Seja x=P(A\cap B).
A partir das definições e dos dados P(A\mid B)=\dfrac{4}{9} e P(B\mid A)=\dfrac{2}{3} obtemos duas equações:
\frac{x}{b}=\frac{4}{9}
\frac{x}{a}=\frac{2}{3}
Essas duas equações vêm diretamente de \displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} e \displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.

Passo 4

Da equação \dfrac{x}{b}=\dfrac{4}{9} temos x=\dfrac{4}{9}b.
Da equação \dfrac{x}{a}=\dfrac{2}{3} temos x=\dfrac{2}{3}a.
Igualando as duas expressões para x:
\dfrac{4}{9}b=\dfrac{2}{3}a.
Resolvo para a em função de b. Dividindo ambos os lados por \dfrac{2}{3}:
a = \left(\frac{4}{9}\right)\Big/\left(\frac{2}{3}\right)\, b
Calculo o quociente:
\left(\frac{4}{9}\right)\Big/\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{2}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.
Então obtemos a relação simples
a=\frac{2}{3}b.

Passo 5

Agora uso a Lei da Probabilidade Total para B, que diz que se \{C, C^{c}\} é uma partição,
P(B)=P(B\mid C)P\text{(C)}+P(B\mid C^{c})P(C^{c}).
Substituo os valores fornecidos: P(B\mid C)=\dfrac{5}{9}, P(B\mid C^{c})=\dfrac{4}{9} e P\text{(C)}=\dfrac{1}{2} (logo P(C^{c})=1-P\text{(C)}=\dfrac{1}{2}).
P(B)=\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{2}+\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5+4}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
b=P(B)=\frac{1}{2}.
Isso já nos dá um valor numérico para a via a=\dfrac{2}{3}b.

Passo 6

Calculo a=P(A) usando a=\dfrac{2}{3}b e b=\dfrac{1}{2}:
a=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Logo
P(A)=\frac{1}{3}.

Passo 7

Calculo x=P(A\cap B) usando x=\dfrac{4}{9}b e b=\dfrac{1}{2}:
x=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.
Então
P(A\cap B)=\frac{2}{9}.
Com isso podemos também reavaliar as condicionais fornecidas para ver consistência:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\tfrac{2}{9}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{1}=\frac{4}{9},
o que bate com o dado. E
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\tfrac{2}{9}}{\tfrac{1}{3}}=\frac{2}{9}\cdot 3=\frac{2}{3},
também consistente.

Passo 8

Vou agora calcular probabilidades envolvendo C para usar na união. Primeiro a probabilidade conjunta P(A\cap B\cap C). Dado que P(A\cap B\mid C)=\dfrac{2}{9} e P\text{(C)}=\dfrac{1}{2}, uso a relação
P(A\cap B\cap C)=P(A\cap B\mid C)\,P\text{(C)}=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{9}.
Também calculo P(A\cap C) e P(B\cap C) a partir das condicionais fornecidas:
P(A\cap C)=P(A\mid C)P\text{(C)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
P(B\cap C)=P(B\mid C)P\text{(C)}=\frac{5}{9}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{18}.
Confiro que P(A\cap B\cap C)=\dfrac{1}{9} é de fato menor que cada uma das interseções marginais, como deve ser.

Passo 9

Agora calculo P(A\cup B\cup C) usando a fórmula de inclusão-exclusão para três eventos:
\begin{aligned} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P\text{(C)}\\\ &\quad -P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)\\\ &\quad +P(A\cap B\cap C). \end{aligned}
Substituo os valores que já tenho:
\begin{aligned} P(A)&=\frac{1}{3},\quad P(B)=\frac{1}{2},\quad P\text{(C)}=\frac{1}{2},\\\ P(A\cap B)&=\frac{2}{9},\quad P(A\cap C)=\frac{1}{6},\quad P(B\cap C)=\frac{5}{18},\\\ P(A\cap B\cap C)&=\frac{1}{9}. \end{aligned}
É conveniente somar com denominador comum 18:
\begin{aligned} P(A)+P(B)+P\text{(C)}&=\frac{6}{18}+\frac{9}{18}+\frac{9}{18}=\frac{24}{18},\\\ P(A\cap B)+P(A\cap C)+P(B\cap C)&=\frac{4}{18}+\frac{3}{18}+\frac{5}{18}=\frac{12}{18},\\\ P(A\cap B\cap C)&=\frac{2}{18}. \end{aligned}
Então
P(A\cup B\cup C)=\frac{24}{18}-\frac{12}{18}+\frac{2}{18}=\frac{14}{18}=\frac{7}{9}.

Passo 10

Resumo rápido de consistência (para te deixar mais confiante): os valores calculados são todos compatíveis com as condicionais dadas; por exemplo P(A\mid C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P\text{(C)}}=\dfrac{\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}, e P(B\mid C)=\dfrac{\tfrac{5}{18}}{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{5}{9}, etc. Tudo bate.

Resposta

P(A)=\dfrac{1}{3}
P(B)=\dfrac{1}{2}
P(A\mid B)=\dfrac{4}{9}
P(A\mid C)=\dfrac{1}{3}
P(B\mid C)=\dfrac{5}{9}
P(A\cap B\mid C)=\dfrac{2}{9}
P(A\cup B\cup C)=\dfrac{7}{9}

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