- Dados os eventos
e
do mesmo espaço amostral, sabe-se que
,
.
Determine:
e
Determine:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as probabilidades abaixo:
-
, , , , , e .
Informações dadas (vou listar exatamente os dados que o enunciado fornece):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Observação: alguns dos pedidos coincidem com probabilidades já fornecidas; mesmo assim vou recalculá-las/confirmá-las a partir dos dados marginais para garantir consistência e para ensinar o raciocínio passo a passo.
Passo 2
Relembrando duas definições essenciais (é importante entender bem antes de usar):
- Definição de probabilidade condicional:
, desde que . Aqui e são eventos quaisquer. - Consequência imediata:
.
Vou usar essas igualdades para traduzir as probabilidades condicionais dadas em igualdades entre probabilidades marginais.
Passo 3
Introduzo notações para as probabilidades marginais desconhecidas:
- Seja
. - Seja
. - Seja
.
A partir das definições e dos dados
e
obtemos duas equações:
Essas duas equações vêm diretamente de
e
.
Passo 4
Da equação
temos
.
Da equação temos
.
Da equação
Igualando as duas expressões para
:
Resolvo para
em função de
. Dividindo ambos os lados por
:
Calculo o quociente:
Então obtemos a relação simples
Passo 5
Agora uso a Lei da Probabilidade Total para
, que diz que se
é uma partição,
Substituo os valores fornecidos:
,
e
(logo
).
Portanto
Isso já nos dá um valor numérico para
via
.
Passo 6
Calculo
usando
e
:
Logo
Passo 7
Calculo
usando
e
:
Então
Com isso podemos também reavaliar as condicionais fornecidas para ver consistência:
o que bate com o dado. E
também consistente.
Passo 8
Vou agora calcular probabilidades envolvendo
para usar na união. Primeiro a probabilidade conjunta
. Dado que
e
, uso a relação
Também calculo
e
a partir das condicionais fornecidas:
Confiro que
é de fato menor que cada uma das interseções marginais, como deve ser.
Passo 9
Agora calculo
usando a fórmula de inclusão-exclusão para três eventos:
Substituo os valores que já tenho:
É conveniente somar com denominador comum
:
Então
Passo 10
Resumo rápido de consistência (para te deixar mais confiante): os valores calculados são todos compatíveis com as condicionais dadas; por exemplo
, e
, etc. Tudo bate.