Uma pessoa se coloca no centro de uma cidade e lança uma moeda honesta. Se ocorrer cara, caminha uma quadra para leste, se ocorrer coroa, caminha uma quadra para o norte. Então ele lança novamente a moeda e usa a mesma regra. Consederando-se o centro da cidade como a origem (0,0), qual a probabilidade de que se encontre em (3,1) após quatro lances?

Passo 1

O enunciado diz: uma pessoa parte do ponto (0,0) e lança uma moeda honesta 4 vezes. A cada lançamento: se der cara, ela anda uma quadra para leste; se der coroa, anda uma quadra para norte. Pergunta-se qual a probabilidade de ela estar no ponto (3,1) após 4 lançamentos.
Informações relevantes dadas:
  • Moeda honesta (probabilidade de cara e coroa iguais).
  • Número de lançamentos: 4.
  • Movimento por lançamento: uma quadra para leste se sair cara, uma quadra para norte se sair coroa.
  • Ponto alvo: (3,1).

Passo 2

Interpretação do que significa chegar em (3,1) depois de 4 passos.
  • A coordenada x=3 significa que a pessoa precisa dar exatamente 3 passos para leste. Cada passo para leste corresponde a um resultado “cara”.
  • A coordenada y=1 significa que a pessoa precisa dar exatamente 1 passo para norte. Cada passo para norte corresponde a um resultado “coroa”.
    Como 3+1=4, isso é compatível com os 4 lançamentos. Logo, chegar em (3,1) é equivalente a obter exatamente 3 caras e 1 coroa em uma sequência de 4 lançamentos.

Passo 3

Modelagem combinatória das sequências favoráveis.
Queremos contar quantas sequências de 4 lançamentos têm exatamente 3 caras e 1 coroa. Cada sequência é uma palavra de comprimento 4 formada por 3 símbolos “C” (cara) e 1 símbolo “K” (coroa). O número de tais sequências é o número de formas de escolher em quais posições aparece a coroa (ou, equivalentemente, escolher as posições das caras). Esse número é dado pelo coeficiente binomial
\binom{4}{1},
que representa o número de maneiras de escolher 1 posição entre 4.

Passo 4

Cálculo do coeficiente binomial.
A fórmula do coeficiente binomial é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\times(n-1)\times\cdots\times1. Aplicando para n=4 e k=1,
\binom{4}{1}=\frac{4!}{1!\,3!}=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{1\cdot(3\cdot2\cdot1)}=4.
Portanto existem 4 sequências favoráveis.

Passo 5

Probabilidade de cada sequência particular.
Como a moeda é honesta, a probabilidade de cara é \tfrac{1}{2} e de coroa é \tfrac{1}{2}. Os lançamentos são independentes, então a probabilidade de uma sequência específica de 4 resultados é o produto das probabilidades de cada lançamento. Assim, qualquer sequência específica tem probabilidade
\left(\tfrac{1}{2}\right)^4=\tfrac{1}{16}.
(Explicação curta: multiplicamos porque eventos independentes têm probabilidades que se multiplicam.)

Passo 6

Probabilidade total de chegar em (3,1).
Como há 4 sequências favoráveis e cada uma tem probabilidade \tfrac{1}{16}, a probabilidade total é
4\cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac{4}{16}=\tfrac{1}{4}.
Uma verificação alternativa usando a fórmula da distribuição binomial: a probabilidade de obter exatamente 3 caras em 4 lançamentos é
\binom{4}{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3\left(\tfrac{1}{2}\right)^1=\binom{4}{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^4=4\cdot\tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{4},
o que dá o mesmo resultado.

Passo 7

Pequeno exemplo para fixar a ideia (opcional, mas útil): com 2 lançamentos, a probabilidade de ficar em (1,1) (uma cara e uma coroa em qualquer ordem) é
\binom{2}{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^2=2\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2},
o que ilustra a mesma contagem e multiplicação por probabilidades individuais.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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