Uma pessoa se coloca no centro de uma cidade e lança uma moeda honesta. Se ocorrer cara, caminha uma quadra para leste, se ocorrer coroa, caminha uma quadra para o norte. Então ele lança novamente a moeda e usa a mesma regra. Consederando-se o centro da cidade como a origem
, qual a probabilidade de que se encontre em
após quatro lances?
Passo 1
O enunciado diz: uma pessoa parte do ponto
e lança uma moeda honesta
vezes. A cada lançamento: se der cara, ela anda uma quadra para leste; se der coroa, anda uma quadra para norte. Pergunta-se qual a probabilidade de ela estar no ponto
após
lançamentos.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- Moeda honesta (probabilidade de cara e coroa iguais).
- Número de lançamentos:
. - Movimento por lançamento: uma quadra para leste se sair cara, uma quadra para norte se sair coroa.
- Ponto alvo:
.
Passo 2
Interpretação do que significa chegar em
depois de
passos.
- A coordenada
significa que a pessoa precisa dar exatamente passos para leste. Cada passo para leste corresponde a um resultado “cara”. - A coordenada
significa que a pessoa precisa dar exatamente passo para norte. Cada passo para norte corresponde a um resultado “coroa”.
Como, isso é compatível com os lançamentos. Logo, chegar em é equivalente a obter exatamente caras e coroa em uma sequência de lançamentos.
Passo 3
Modelagem combinatória das sequências favoráveis.
Queremos contar quantas sequências de lançamentos têm exatamente
caras e
coroa. Cada sequência é uma palavra de comprimento
formada por
símbolos “C” (cara) e
símbolo “K” (coroa). O número de tais sequências é o número de formas de escolher em quais posições aparece a coroa (ou, equivalentemente, escolher as posições das caras). Esse número é dado pelo coeficiente binomial
Queremos contar quantas sequências de
que representa o número de maneiras de escolher
posição entre
.
Passo 4
Cálculo do coeficiente binomial.
A fórmula do coeficiente binomial é
A fórmula do coeficiente binomial é
onde
(fatorial) significa
. Aplicando para
e
,
Portanto existem
sequências favoráveis.
Passo 5
Probabilidade de cada sequência particular.
Como a moeda é honesta, a probabilidade de cara é e de coroa é
. Os lançamentos são independentes, então a probabilidade de uma sequência específica de
resultados é o produto das probabilidades de cada lançamento. Assim, qualquer sequência específica tem probabilidade
Como a moeda é honesta, a probabilidade de cara é
(Explicação curta: multiplicamos porque eventos independentes têm probabilidades que se multiplicam.)
Passo 6
Probabilidade total de chegar em
.
Como há sequências favoráveis e cada uma tem probabilidade
, a probabilidade total é
Como há
Uma verificação alternativa usando a fórmula da distribuição binomial: a probabilidade de obter exatamente
caras em
lançamentos é
o que dá o mesmo resultado.
Passo 7
Pequeno exemplo para fixar a ideia (opcional, mas útil): com
lançamentos, a probabilidade de ficar em
(uma cara e uma coroa em qualquer ordem) é
o que ilustra a mesma contagem e multiplicação por probabilidades individuais.