Obtenha a elipse de focos pm(3,4) e a=7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação da elipse que tem os focos em (3,4) e (-3,4), e que o valor de a (que é o semi-eixo maior) é igual a 7. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica sobre elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde está o centro da elipse. Como os focos são (3,4) e (-3,4), eles estão alinhados horizontalmente no eixo x. O centro da elipse fica exatamente no meio entre os dois focos. Para encontrar as coordenadas do centro, fazemos a média das coordenadas dos focos:
Centro (h, k) = ( 3 + (-3)2, 4 + 42 ) = (0, 4)
Então, o centro da nossa elipse é (0, 4).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de c, que é a distância do centro até cada foco. Como os focos estão a uma distância de 3 unidades do centro no eixo x (de 0 a 3), temos:
c = 3
Sabemos que para uma elipse, a relação entre os eixos é dada por:
a^2 = b^2 + c^2
Onde:
  • a é o semi-eixo maior (já sabemos que a = 7),
  • b é o semi-eixo menor,
  • c é a distância do centro aos focos.
Vamos usar essa relação para encontrar b.

Passo 4

Substituindo os valores que já temos na fórmula:
7^2 = b^2 + 3^2 49 = b^2 + 9 b^2 = 49 - 9 b^2 = 40 b = raiz40 = 2raiz10
Então, o valor de b é 2raiz10.

Passo 5

Agora que temos todos os valores necessários ( h = 0, k = 4, a = 7, b = 2raiz10), podemos escrever a equação da elipse. Para uma elipse horizontal com centro em (h, k), a equação é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
(x - 0)^27^2 + (y - 4)^2(2raiz10)^2 = 1 x^249 + (y - 4)^240 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^249 + (y - 4)^240 = 1

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