Obtenha a elipse de focos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação da elipse que tem os focos em
e
, e que o valor de
(que é o semi-eixo maior) é igual a
. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica sobre elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde está o centro da elipse. Como os focos são
e
, eles estão alinhados horizontalmente no eixo
. O centro da elipse fica exatamente no meio entre os dois focos. Para encontrar as coordenadas do centro, fazemos a média das coordenadas dos focos:
Então, o centro da nossa elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. Como os focos estão a uma distância de
unidades do centro no eixo
(de
a
), temos:
Sabemos que para uma elipse, a relação entre os eixos é dada por:
Onde:
-
é o semi-eixo maior (já sabemos que ), -
é o semi-eixo menor, -
é a distância do centro aos focos.
Vamos usar essa relação para encontrar
.
Passo 4
Substituindo os valores que já temos na fórmula:
Então, o valor de
é
.
Passo 5
Agora que temos todos os valores necessários (
,
,
,
), podemos escrever a equação da elipse. Para uma elipse horizontal com centro em
, a equação é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da elipse é: