Escreva cada uma das equações dadas a seguir na forma canônica, identifique a curva que ela representa e esboce o seu gráfico:
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
que é uma equação geral de segundo grau em
e
com coeficiente misto
. Para colocá-la em forma canônica precisamos eliminar o termo
por meio de uma rotação de eixos.
Passo 2
O ângulo de rotação
satisfaz
onde
e
. Logo
Passo 3
Fazemos a mudança de variáveis
de modo que o novo termo misto em
e
desaparece. As fórmulas para os novos coeficientes são
Passo 4
Calculando com
,
,
,
e
, obtemos
A equação em
fica então
Passo 5
Reescrevendo em forma canônica e isolando o lado direito igual a 1, temos
Como os coeficientes de
e
têm sinais opostos, trata-se de uma hipérbole cujos eixos principais estão girados de
em relação aos eixos
.
Passo 6
O esboço é uma hipérbole com duas ramas simétricas em torno dos eixos
e
do sistema girado. No plano
ela aparece “inclinada” de
. As assíntotas são
no sistema rotacionado, que correspondem a retas passantes pela origem giradas de
.
Resposta
Equação canônica:
Curva: hipérbole com eixos girados de
.
Esboço: duas ramas simétricas ao longo dos eixos do sistema rotacionado, inclinadas em relação aos eixos originais.
Esboço: duas ramas simétricas ao longo dos eixos