Escreva cada uma das equações dadas a seguir na forma canônica, identifique a curva que ela representa e esboce o seu gráfico:
3 x^2+52 x y-7 y^2+180=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
3x^2+52xy-7y^2+180=0
que é uma equação geral de segundo grau em x e y com coeficiente misto B=52. Para colocá-la em forma canônica precisamos eliminar o termo xy por meio de uma rotação de eixos.

Passo 2

O ângulo de rotação theta satisfaz
tan(2theta)=BA-C
onde A=3 e C=-7. Logo
tan(2theta)=523-(-7)=5210=5,2,
2theta=arctan(5,2), theta=tfrac12arctan(5,2)

Passo 3

Fazemos a mudança de variáveis
x = Xcostheta - Ysintheta, y = Xsintheta + Ycostheta,
de modo que o novo termo misto em X e Y desaparece. As fórmulas para os novos coeficientes são
A'=A+C2+A-C2cos2theta+B2sin2theta,
C'=A+C2-A-C2cos2theta-B2sin2theta

Passo 4

Calculando com A=3, B=52, C=-7, cos2theta=tfrac5raiz701 e sin2theta=tfrac26raiz701, obtemos
A'=-2+25+676raiz701=-2+raiz701, C'=-2-raiz701
A equação em X,Y fica então
(raiz701-2),X^2-(raiz701+2),Y^2+180=0

Passo 5

Reescrevendo em forma canônica e isolando o lado direito igual a 1, temos
Y^2180raiz701+2 ;-; X^2180raiz701-2 ;=;1
Como os coeficientes de X^2 e Y^2 têm sinais opostos, trata-se de uma hipérbole cujos eixos principais estão girados de theta=tfrac12arctan(5,2) em relação aos eixos x,y.

Passo 6

O esboço é uma hipérbole com duas ramas simétricas em torno dos eixos X e Y do sistema girado. No plano x,y ela aparece “inclinada” de theta. As assíntotas são Y=pm X,raiztfracraiz701+2raiz701-2 no sistema rotacionado, que correspondem a retas passantes pela origem giradas de theta.

Resposta

Equação canônica:
Y^2180raiz701+2 ;-; X^2180raiz701-2 ;=;1
Curva: hipérbole com eixos girados de theta=tfrac12arctan(5,2).
Esboço: duas ramas simétricas ao longo dos eixos X,Y do sistema rotacionado, inclinadas em relação aos eixos originais.

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