Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
x y^prime+2 y=sen(x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
x,y' + 2,y = sen(x)
Vamos usar o conteúdo de equações lineares de primeiro grau e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão dividindo tudo por x (supondo xneq0):
y' + 2x,y = sen(x)x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x)=x^2, obtendo
x^2,y' + 2x,y = x,sen(x)
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2,y:
ddxl(x^2,yr) = x,sen(x)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2,y = integral x,sen(x),dx
Fazendo integração por partes em integral xsen(x),dx, com u=x, dv=sen(x),dx, vem
integral xsen(x),dx = -xcos(x) + integral cos(x),dx = -xcos(x) + sen(x) + C

Passo 6

Isolando y, obtemos
y = -xcos(x) + sen(x) + Cx^2
Podemos reescrever de forma equivalente como
y = -cos(x)x + sen(x)x^2 + Cx^2

Resposta

y(x) = -xcos(x) + sen(x) + Cx^2,
onde C é a constante arbitrária de integração.

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