Dados grupos (G,+) e (J,+), considere o produto direto (G times J, oplus) onde oplus é definido como:
(a, x) oplus(b, y)=(a+b, x+y)
Sendo 0G e 0J os elementos neutros de G e de J respectivamente, mostre que:
Os conjuntos:
G times 0J=(a, 0J) ; a in G e 0G times J=(0G, x) ; x in J
são subgrupos de (G times J, oplus).

Passo 1

O enunciado fala de dois grupos abelianos (G,+) e (J,+) e de seu produto direto (Gtimes J,oplus), em que
(a,x)oplus(b,y)=(a+b,;x+y)
Precisamos mostrar que os conjuntos
Gtimes0J=(a,0J):ain G e 0Gtimes J=(0G,x):xin J
são subgrupos de (Gtimes J,oplus). Para isso, usaremos a definição de subgrupo: um subconjunto não vazio H de um grupo é subgrupo se for fechado na operação e fechado em inversos.

Passo 2

Mostramos primeiro que Gtimes0J é não vazio. Note que o elemento neutro de Gtimes J é (0G,0J). Como (0G,0J)in Gtimes0J, temos Gtimes0Jneqvarnothing.

Passo 3

Verificamos a fechamento em oplus para Gtimes0J. Se (a,0J) e (b,0J) estão em Gtimes0J, então
(a,0J)oplus(b,0J) =(a+b,;0J+0J) =(a+b,;0J)
Como a+bin G, segue (a+b,0J)in Gtimes0J, logo o conjunto é fechado.

Passo 4

Verificamos a fechamento em inversos para Gtimes0J. O inverso de (a,0J) em (Gtimes J,oplus) é
-(a,0J)=(-a,;-0J) =(-a,;0J),
porque em qualquer grupo -0J=0J. Como -ain G, temos ( -a,0J)in Gtimes0J. Assim, Gtimes0J é subgrupo.

Passo 5

Agora fazemos o mesmo para 0Gtimes J. Primeiro, (0G,0J)in0Gtimes J, então é não vazio.
Para fechamento, se (0G,x) e (0G,y) estão em 0Gtimes J, então
(0G,x)oplus(0G,y) =(0G+0G,;x+y) =(0G,;x+y),
e x+yin J implica (0G,x+y)in0Gtimes J.
O inverso de (0G,x) é
-(0G,x)=(,-0G,,-x)=(0G,-x),
e como -xin J, segue (0G,-x)in0Gtimes J. Portanto, 0Gtimes J também é subgrupo.

Resposta

Os dois conjuntos são subgrupos de (Gtimes J,oplus).

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