Dados grupos
e
, considere o produto direto
onde
é definido como:
Sendo
e
os elementos neutros de
e de
respectivamente, mostre que:
Os conjuntos:
e
são subgrupos de
.
Os conjuntos:
são subgrupos de
Passo 1
O enunciado fala de dois grupos abelianos
e
e de seu produto direto
, em que
Precisamos mostrar que os conjuntos
são subgrupos de
. Para isso, usaremos a definição de subgrupo: um subconjunto não vazio
de um grupo é subgrupo se for fechado na operação e fechado em inversos.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é não vazio. Note que o elemento neutro de
é
. Como
, temos
.
Passo 3
Verificamos a fechamento em
para
. Se
e
estão em
, então
Como
, segue
, logo o conjunto é fechado.
Passo 4
Verificamos a fechamento em inversos para
. O inverso de
em
é
porque em qualquer grupo
. Como
, temos
. Assim,
é subgrupo.
Passo 5
Agora fazemos o mesmo para
. Primeiro,
, então é não vazio.
Para fechamento, se e
estão em
, então
Para fechamento, se
e
implica
.
O inverso de é
O inverso de
e como
, segue
. Portanto,
também é subgrupo.
Resposta
Os dois conjuntos são subgrupos de
.