Sejam (G,+) e (J,+) grupos e h:(G,+) (J,+) um homomorfismo. Dado y in Im(h), define-se a imagem inversa de y por h como o conjunto h^-1(y)=x in G ; h(x)=y. Mostre que
h^-1(y)=x+ker(h)
onde x+ker(h)=x+a ; a in ker(h) e x é algum elemento de G onde h(x)=y;

Passo 1

O enunciado trata de um homomorfismo de grupos hcolon (G,+)to(J,+). Para um elemento yinIm(h) definimos a fibra
h^-1(y)=,gin Gmid h(g)=y
Queremos mostrar que, se escolhemos qualquer xin G com h(x)=y, então
h^-1(y)=x+ker(h),
onde
x+ker(h)=,x+amid ainker(h)
e
ker(h)=,ain Gmid h(a)=0J

Passo 2

Provar h^-1(y)subseteq x+ker(h). Seja gin h^-1(y). Então h(g)=y e também h(x)=y. Considere
a = -,x + g
Como h é homomorfismo,
h(a)=h(-x+g)=h(-x)+h(g)=-h(x)+y=-y+y=0J,
logo ainker(h). Além disso,
g = x + a,
portanto gin x+ker(h). Assim
h^-1(y)subseteq x+ker(h)

Passo 3

Provar x+ker(h)subseteq h^-1(y). Seja gin x+ker(h). Então existe ainker(h) tal que g=x+a. Da mesma forma,
h(g)=h(x+a)=h(x)+h(a)=y+0J=y,
então gin h^-1(y). Logo
x+ker(h)subseteq h^-1(y)

Resposta

Como mostramos ambas as inclusões, concluímos
h^-1(y)=x+ker(h)

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