Sejam
e
grupos e
um homomorfismo. Dado
, define-se a imagem inversa de
por
como o conjunto
. Mostre que
onde
e
é algum elemento de
onde
;
Passo 1
O enunciado trata de um homomorfismo de grupos
. Para um elemento
definimos a fibra
Queremos mostrar que, se escolhemos qualquer
com
, então
onde
e
Passo 2
Provar
. Seja
. Então
e também
. Considere
Como
é homomorfismo,
logo
. Além disso,
portanto
. Assim
Passo 3
Provar
. Seja
. Então existe
tal que
. Da mesma forma,
então
. Logo
Resposta
Como mostramos ambas as inclusões, concluímos