Seja a um elemento de um grupo (G, cdot) e h:(G, cdot) (G, cdot) um endomorfismo. Mostre que:
h:(G, cdot) (G, cdot) um automorfismo se e somente se a aplicação f(x)=a h(x) a^-1 é um automorfismo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo (G,cdot), um elemento ain G e um endomorfismo h:Gto G. Definimos outra aplicação
f(x)=a,h(x),a^-1,
e queremos mostrar que h é automorfismo se, e somente se, f é automorfismo.
Conteúdo: teoria de homomorfismos de grupos, automorfismos (bijetivos) e conjugação interna.

Passo 2

Mostramos que a conjugação por a, isto é
Cacolon Gto G, Ca(x)=a,x,a^-1,
é um automorfismo. Primeiro, para quaisquer x,yin G
Ca(xy)=a,(xy),a^-1=(a,x,a^-1)(a,y,a^-1)=Ca(x),Ca(y),
logo Ca é homomorfismo. Depois, a inversa de Ca é exatamente Ca^-1, pois
Ca^-1(Ca(x))=a^-1(a,x,a^-1)a=x,
e análogo para a outra composição. Assim, Ca é bijetiva e homomorfismo, i.e., automorfismo.

Passo 3

( Rightarrow) Suponha que h seja automorfismo. Então h é bijetivo e homomorfismo. Como Ca é automorfismo, a composição
f = Cacirc h
é composição de bijeções e de homomorfismos, portanto também é bijetiva e homomorfismo. Logo f é automorfismo.

Passo 4

( Leftarrow) Suponha que f seja automorfismo. Como Ca^-1 é automorfismo, temos
h = Ca^-1circ f,
ou seja, h é composição de automorfismos e, portanto, é automorfismo.

Resposta

Mostramos que f=Cacirc h e h=Ca^-1circ f, com Ca e Ca^-1 automorfismos. Daí h é automorfismo se, e somente se, f o for.

Exercícios relacionados