Seja
um elemento de um grupo
e
um endomorfismo. Mostre que:
um automorfismo se e somente se a aplicação
é um automorfismo.
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo
, um elemento
e um endomorfismo
. Definimos outra aplicação
e queremos mostrar que
é automorfismo se, e somente se,
é automorfismo.
Conteúdo: teoria de homomorfismos de grupos, automorfismos (bijetivos) e conjugação interna.
Conteúdo: teoria de homomorfismos de grupos, automorfismos (bijetivos) e conjugação interna.
Passo 2
Mostramos que a conjugação por
, isto é
é um automorfismo. Primeiro, para quaisquer
logo
é homomorfismo. Depois, a inversa de
é exatamente
, pois
e análogo para a outra composição. Assim,
é bijetiva e homomorfismo, i.e., automorfismo.
Passo 3
(
) Suponha que
seja automorfismo. Então
é bijetivo e homomorfismo. Como
é automorfismo, a composição
é composição de bijeções e de homomorfismos, portanto também é bijetiva e homomorfismo. Logo
é automorfismo.
Passo 4
(
) Suponha que
seja automorfismo. Como
é automorfismo, temos
ou seja,
é composição de automorfismos e, portanto, é automorfismo.
Resposta
Mostramos que
e
, com
e
automorfismos. Daí
é automorfismo se, e somente se,
o for.