Mostre que o grupo (Q^*, cdot) não é cíclico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o grupo l(Q^*,cdotr) (racionais não nulos com a multiplicação) não é cíclico. Lembrando que um grupo é cíclico se existe um elemento ginQ^* tal que
lang<= grang<==g^n : ninZ=Q^*
Vamos usar a fatoração única em primos de números racionais para chegar a uma contradição.

Passo 2

Seja ginQ^*. Podemos escrevê-lo de forma única como
g = pmprodi=1^k pi^ai,
onde p1,dots,pk são primos distintos e aiinZ para todo i. Esse é o teorema da fatoração única estendido aos racionais.

Passo 3

O subgrupo gerado por g é
lang<= grang<==g^n : ninZ = lpmprodi=1^k pi^n,ai : ninZr
Note que todo elemento de lang<= grang<= só pode envolver os primos p1,dots,pk, pois em g^n aparecem esses mesmos fatores primos elevados a n,ai.

Passo 4

O conjunto Q^* contém infinitos primos, ou seja, para qualquer escolha finita de primos p1,dots,pk existe um primo q distinto de todos eles. Então o racional q (ou seja, q/1) não pode ser escrito como
pmprodi=1^k pi^n,ai
para nenhum ninZ. Logo qnotinlang<= grang<=, o que impede que lang<= grang<==Q^*. Concluímos que não existe elemento gerador de todo Q^*.

Resposta

O grupo l(Q^*,cdotr) não é cíclico porque qualquer candidato a gerador só envolverá finitamente muitos primos, enquanto Q^* exige gerar racionais com primos arbitrários.

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