Mostre que o grupo
não é cíclico.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o grupo
(racionais não nulos com a multiplicação) não é cíclico. Lembrando que um grupo é cíclico se existe um elemento
tal que
Vamos usar a fatoração única em primos de números racionais para chegar a uma contradição.
Passo 2
Seja
. Podemos escrevê-lo de forma única como
onde
são primos distintos e
para todo
. Esse é o teorema da fatoração única estendido aos racionais.
Passo 3
O subgrupo gerado por
é
Note que todo elemento de
só pode envolver os primos
, pois em
aparecem esses mesmos fatores primos elevados a
.
Passo 4
O conjunto
contém infinitos primos, ou seja, para qualquer escolha finita de primos
existe um primo
distinto de todos eles. Então o racional
(ou seja,
) não pode ser escrito como
para nenhum
. Logo
, o que impede que
. Concluímos que não existe elemento gerador de todo
.
Resposta
O grupo
não é cíclico porque qualquer candidato a gerador só envolverá finitamente muitos primos, enquanto
exige gerar racionais com primos arbitrários.