Seja a um elemento de um grupo (G, cdot) e h:(G, cdot) (G, cdot) um endomorfismo. Mostre que:
A aplicação f:(G, cdot) (G, cdot) dada como f(x)=a h(x) a^-1 é um endomorfismo;

Passo 1

O enunciado dá um grupo (G,cdot), um elemento ain G e um endomorfismo
hcolon (G,cdot)to(G,cdot). A aplicação
f(x)=a,h(x),a^-1
é a conjugação de h por a. Vamos mostrar que f é endomorfismo, ou seja, preserva o produto.

Passo 2

Lembrando que fcolon Gto G é homomorfismo de grupo se, para todo x,yin G,
f(xy)=f(x),f(y)
Também convém verificar que f(e)=e, onde e é o neutro de G.

Passo 3

Para x,yin G calculamos
f(xy) = a,h(xy),a^-1
Como h é endomorfismo,
h(xy)=h(x),h(y),
então
f(xy) = a,h(x),h(y),a^-1

Passo 4

Inserindo o fator neutro a^-1a=e e usando associatividade:
f(xy) = a,h(x),(a^-1a),h(y),a^-1 = (a,h(x),a^-1);(a,h(y),a^-1) = f(x),f(y)
Além disso,
f(e) = a,h(e),a^-1 = a,e,a^-1 = e,
logo f preserva também o neutro.

Passo 5

Portanto f satisfaz f(xy)=f(x)f(y) e f(e)=e. Como f leva G em G, concluímos que é um endomorfismo.

Resposta

A aplicação f(x)=a,h(x),a^-1 é um endomorfismo de (G,cdot).

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