Seja
um elemento de um grupo
e
um endomorfismo. Mostre que:
A aplicação
dada como
é um endomorfismo;
A aplicação
Passo 1
O enunciado dá um grupo
, um elemento
e um endomorfismo
. A aplicação
é a conjugação de
por
. Vamos mostrar que
é endomorfismo, ou seja, preserva o produto.
Passo 2
Lembrando que
é homomorfismo de grupo se, para todo
,
Também convém verificar que
, onde
é o neutro de
.
Passo 3
Para
calculamos
Como
é endomorfismo,
então
Passo 4
Inserindo o fator neutro
e usando associatividade:
Além disso,
logo
preserva também o neutro.
Passo 5
Portanto
satisfaz
e
. Como
leva
em
, concluímos que é um endomorfismo.
Resposta
A aplicação
é um endomorfismo de
.