Dados grupos (G,+) e (J,+), considere o produto direto (G times J, oplus) onde oplus é definido como:
(a, x) oplus(b, y)=(a+b, x+y)
Sendo 0G e 0J os elementos neutros de G e de J respectivamente, mostre que:
as aplicações:
& f: (G,+) G times 0J & a (a, 0J) & e & g: (J,+) 0G times J & x (0G, x)
são isomorfismos.

Passo 1

O enunciado define o grupo produto (Gtimes J,oplus) onde
(a,x)oplus(b,y)=(a+b,;x+y)
e pede para mostrar que as aplicações
fcolon (G,+)to Gtimes0J, f(a)=(a,0J)
e
gcolon (J,+)to 0Gtimes J, g(x)=(0G,x)
são isomorfismos de grupos. Vamos lembrar que, para ser isomorfismo, cada mapa deve ser homomorfismo de grupos, injetivo e sobrejetivo no seu contradomínio.

Passo 2

Mostramos que f é homomorfismo. Para quaisquer a,bin G:
f(a+b)=(a+b,0J)
por outro lado,
f(a)oplus f(b)=(a,0J)oplus(b,0J)=(a+b,;0J+0J)=(a+b,0J)
Logo
f(a+b)=f(a)oplus f(b),
isto é, f preserva a operação.

Passo 3

Verificamos que f é bijetora sobre Gtimes0J.
  1. Injetividade: se f(a)=f(a') então
(a,0J)=(a',0J)
e, pelo produto direto, isso força a=a'.
2. Sobrejetividade: dado (a,0J)in Gtimes0J, basta tomar ain G e ver que f(a)=(a,0J).

Passo 4

Como f é homomorfismo e bijetivo sobre seu contradomínio, concluímos que
fcolon (G,+)xrightarrowsim Gtimes0J
é um isomorfismo de grupos.

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para g. Primeiro, para quaisquer x,yin J:
g(x+y)=(0G,x+y)
e
g(x)oplus g(y)=(0G,x)oplus(0G,y)=(0G+0G,;x+y)=(0G,x+y),
logo g(x+y)=g(x)oplus g(y). Em seguida, injetividade decorre de
(0G,x)=(0G,y)implies x=y,
e sobrejetividade sobre 0Gtimes J é óbvia: dado (0G,x), vem de g(x). Assim
gcolon (J,+)xrightarrowsim0Gtimes J
é também um isomorfismo.

Resposta

As aplicações
f(a)=(a,0J)e g(x)=(0G,x)
são isomorfismos de grupos.

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