Dados grupos e , considere o produto direto onde é definido como:
Sendo e os elementos neutros de e de respectivamente, mostre que:
as aplicações:
são isomorfismos.
Passo 1
O enunciado define o grupo produto onde
e pede para mostrar que as aplicações
e
são isomorfismos de grupos. Vamos lembrar que, para ser isomorfismo, cada mapa deve ser homomorfismo de grupos, injetivo e sobrejetivo no seu contradomínio.
Passo 2
Mostramos que é homomorfismo. Para quaisquer :
por outro lado,
Logo
isto é, preserva a operação.
Passo 3
Verificamos que é bijetora sobre .
Injetividade: se então
e, pelo produto direto, isso força .
2. Sobrejetividade: dado , basta tomar e ver que .
Passo 4
Como é homomorfismo e bijetivo sobre seu contradomínio, concluímos que
é um isomorfismo de grupos.
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para g. Primeiro, para quaisquer x,yin J: