Seja T: R^2 R^2 uma transformaçào linear que triplien a comprimento do vetor u=(2,1) e dobra o comprimento do vetor v=(1,2). sem alterar as direçòes nem inverter os sentidos.
Determinar T(x, y).

Passo 1

O enunciado diz que TcolonR^2toR^2 é linear e satisfaz
T(u)=T(2,1)=3,(2,1)=(6,3),
T(v)=T(1,2)=2,(1,2)=(2,4),
sem alterar direções nem inverter sentidos. Como u e v são independentes, formam base de R^2 e podemos usar essa base para achar T(x,y).

Passo 2

Escrevemos (x,y) na base u,v, ou seja, buscamos a,b tais que
a,(2,1)+b,(1,2)=(x,y)
Isso gera o sistema
2a+b=x, a+2b=y
Resolvendo, achamos
b=2y-x3, a=2x-y3

Passo 3

Pela linearidade e pelas escalas em u e v,
T(x,y)=a,T(u)+b,T(v)=a,(6,3)+b,(2,4)
Logo
T(x,y)=(6a+2b,;3a+4b)
Substituindo a e b:
6a+2b =6cdot2x-y3+2cdot2y-x3 =10x-2y3,
3a+4b =3cdot2x-y3+4cdot2y-x3 =2x+5y3

Resposta

T(x,y)=l(10x-2y3,,2x+5y3r)

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