Seja
um grupo e
um elemento de
. Mostre que
é o menor subgrupo de
que contem
(ou seja: se
é um subgrupo que contem
, então
).
Passo 1
O enunciado trabalha com um grupo
e um elemento
. Definimos o subgrupo cíclico gerado por
como
O objetivo é mostrar que
-
é de fato um subgrupo de que contém . - Se
é qualquer subgrupo de que contém , então .
Passo 2
Mostramos que
é subgrupo de
usando o teste de subgrupo:
- Identidade: tomando
em , obtemos . - Fechamento: se
e pertencem a , então
- Inverso: para
, o inverso em é
Assim,
satisfaz identidade, fechamento e inverso, logo é subgrupo de
.
Passo 3
Agora provamos a minimalidade. Seja
um subgrupo de
com
.
- Como
é fechado sob produto, . Por indução, para todo . - Como
é fechado sob inversão, de segue , e por similaridade para todo . - E já temos
.
Portanto, para todo
,
, o que implica
.
Resposta
Seja
qualquer subgrupo de
contendo
. Então
ou seja,
é o menor subgrupo de
que contém
.