Seja (G, cdot) um grupo e a um elemento de G. Mostre que [a] é o menor subgrupo de (G, cdot) que contem a (ou seja: se S é um subgrupo que contem a, então [a] subseteq S ).

Passo 1

O enunciado trabalha com um grupo (G,cdot) e um elemento ain G. Definimos o subgrupo cíclico gerado por a como
[a] = ,a^n mid nin Z
O objetivo é mostrar que
  1. [a] é de fato um subgrupo de G que contém a.
  2. Se S é qualquer subgrupo de G que contém a, então [a]subseteq S.

Passo 2

Mostramos que [a] é subgrupo de G usando o teste de subgrupo:
  • Identidade: tomando n=0 em a^n, obtemos a^0=ein [a].
  • Fechamento: se x=a^m e y=a^n pertencem a [a], então
xcdot y = a^mcdot a^n = a^m+nin [a]
  • Inverso: para x=a^nin [a], o inverso em G é
x^-1 = (a^n)^-1 = a^-nin [a]
Assim, [a] satisfaz identidade, fechamento e inverso, logo é subgrupo de G.

Passo 3

Agora provamos a minimalidade. Seja S um subgrupo de G com ain S.
  • Como S é fechado sob produto, a^2 = acdot ain S. Por indução, a^nin S para todo n>0.
  • Como S é fechado sob inversão, de ain S segue a^-1in S, e por similaridade a^-nin S para todo n>0.
  • E já temos a^0=ein S.
Portanto, para todo nin Z, a^nin S, o que implica [a]subseteq S.

Resposta

Seja S qualquer subgrupo de G contendo a. Então
[a] ;subseteq; S,
ou seja, [a] é o menor subgrupo de G que contém a.

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