Dados os grupos G abaixo, determine as ordens de cada um de seus elementos.
G=Z13^*.

Passo 1

Temos o grupo G = Z13^*, ou seja, o conjunto {1,2,\dots,12} com multiplicação módulo 13. A missão é achar a ordem de cada elemento. A matéria aqui é teoria de grupos, mais especificamente ordens de elementos em grupos cíclicos.

Passo 2

A ordem de um elemento a em um grupo é o menor inteiro positivo k tal que a^k é o elemento neutro do grupo. No nosso caso, o neutro é 1 e a ordem |G| = 12. Pelo teorema de Lagrange, a ordem de cada elemento divide 12.

Passo 3

Sabemos que Z13^* é cíclico de ordem 12. Vamos escolher o gerador g=2. Verifica-se que 2 gera todo o grupo porque ord(2)=12 (por exemplo, 2^6equiv -1bmod13 e 2^12equiv1bmod13). Assim, todo elemento pode ser escrito como 2^k para algum k=0,1,dots,11.

Passo 4

Existe uma fórmula geral: se g tem ordem n e a=g^k, então ord(a)=ngcd(n,k). Aqui n=12, então ord(2^k)=tfrac12gcd(12,k).

Passo 5

Agora listamos para k=0,dots,11 o valor de 2^kbmod13 e sua ordem:
  • k=0: 2^0equiv1, gcd(12,0)=12 ord(1)=1
  • k=1: 2^1equiv2, gcd(12,1)=1 ord(2)=12
  • k=2: 2^2equiv4, gcd(12,2)=2 ord(4)=6
  • k=3: 2^3equiv8, gcd(12,3)=3 ord(8)=4
  • k=4: 2^4equiv3, gcd(12,4)=4 ord(3)=3
  • k=5: 2^5equiv6, gcd(12,5)=1 ord(6)=12
  • k=6: 2^6equiv12, gcd(12,6)=6 ord(12)=2
  • k=7: 2^7equiv11, gcd(12,7)=1 ord(11)=12
  • k=8: 2^8equiv9, gcd(12,8)=4 ord(9)=3
  • k=9: 2^9equiv5, gcd(12,9)=3 ord(5)=4
  • k=10: 2^10equiv10, gcd(12,10)=2 ord(10)=6
  • k=11: 2^11equiv7, gcd(12,11)=1 ord(7)=12.

Resposta

As ordens são: ord(1)=1, ord(2)=12, ord(3)=3, ord(4)=6, ord(5)=4, ord(6)=12, ord(7)=12, ord(8)=4, ord(9)=3, ord(10)=6, ord(11)=12, ord(12)=2.

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