Dados os grupos
abaixo, determine as ordens de cada um de seus elementos.
.
Passo 1
Temos o grupo
, ou seja, o conjunto {1,2,\dots,12} com multiplicação módulo 13. A missão é achar a ordem de cada elemento. A matéria aqui é teoria de grupos, mais especificamente ordens de elementos em grupos cíclicos.
Passo 2
A ordem de um elemento
em um grupo é o menor inteiro positivo
tal que
é o elemento neutro do grupo. No nosso caso, o neutro é
e a ordem
. Pelo teorema de Lagrange, a ordem de cada elemento divide 12.
Passo 3
Sabemos que
é cíclico de ordem 12. Vamos escolher o gerador
. Verifica-se que 2 gera todo o grupo porque
(por exemplo,
e
). Assim, todo elemento pode ser escrito como
para algum
.
Passo 4
Existe uma fórmula geral: se
tem ordem
e
, então
. Aqui
, então
.
Passo 5
Agora listamos para
o valor de
e sua ordem:
-
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → -
: , → .
Resposta
As ordens são:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.