Dados A=3 imath-jmath+k e B=imath-2 vec jmath -k. Faça o que se pede:
a) Calcule A times B;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o produto vetorial entre dois vetores, A = 3 imath - jmath + k e B = imath - 2 jmath - k. Então, vamos usar o conceito de produto vetorial, que é uma operação matemática usada para encontrar um vetor perpendicular aos dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores no plano tridimensional. Se temos A = a1 imath + a2 jmath + a3 k e B = b1 imath + b2 jmath + b3 k, então o produto vetorial A times B é dado por:
A times B = imath & jmath & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Isso significa que vamos montar uma matriz com os componentes dos vetores e calcular o determinante dessa matriz.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores. Primeiro, identificamos os componentes:
  • Para A: a1 = 3, a2 = -1, a3 = 1
  • Para B: b1 = 1, b2 = -2, b3 = -1
Agora, montamos a matriz:
A times B = imath & jmath & k 3 & -1 & 1 1 & -2 & -1

Passo 4

Para calcular o determinante dessa matriz, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores:
A times B = imath cdot -1 & 1 -2 & -1 - jmath cdot 3 & 1 1 & -1 + k cdot 3 & -1 1 & -2

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um desses determinantes de 2x2:
  1. Para imath:
-1 & 1 -2 & -1 = (-1)(-1) - (1)(-2) = 1 + 2 = 3
  1. Para jmath:
3 & 1 1 & -1 = (3)(-1) - (1)(1) = -3 - 1 = -4
  1. Para k:
3 & -1 1 & -2 = (3)(-2) - (-1)(1) = -6 + 1 = -5

Passo 6

Substituindo esses valores de volta na expressão do produto vetorial:
A times B = imath cdot 3 - jmath cdot (-4) + k cdot (-5)
Isso simplifica para:
A times B = 3imath + 4jmath - 5k

Resposta

O produto vetorial A times B é igual a 3imath + 4jmath - 5k.

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