Dados os vetores A=imath+4 jmath-5 k, B=3 imath-2 jmath-3 k e C=4 imath-2 jmath- 3 k.
Determine:
d) Os ângulos formados por A com os eixos x, y e z;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o vetor A = imath + 4jmath - 5k e precisamos descobrir os ângulos que ele forma com os eixos x, y e z. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar e trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o módulo (ou tamanho) do vetor A. O módulo é dado pela fórmula:
|A| = raizAx^2 + Ay^2 + Az^2
Onde Ax, Ay e Az são os componentes do vetor nas direções x, y e z respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular cada componente ao quadrado:
Ax^2 = 1^2 = 1
Ay^2 = 4^2 = 16
Az^2 = (-5)^2 = 25

Passo 4

Agora somamos esses valores para encontrar o módulo:
|A| = raiz1 + 16 + 25 = raiz42
Então, o módulo de A é raiz42.

Passo 5

Para encontrar o ângulo que A forma com cada eixo, usamos a fórmula do cosseno:
costheta = Componente do vetor no eixo|A|
Então, o ângulo thetax com o eixo x é:
costhetax = 1raiz42
thetax = cos^-1(1raiz42)

Passo 6

Da mesma forma, para o eixo y:
costhetay = 4raiz42
thetay = cos^-1(4raiz42)

Passo 7

E para o eixo z:
costhetaz = -5raiz42
thetaz = cos^-1(-5raiz42)
Note que o ângulo com o eixo z será maior que 90°, já que o componente é negativo.

Resposta

Os ângulos formados pelo vetor A com os eixos são aproximadamente:
thetax approx 81^circ, thetay approx 50^circ, thetaz approx 143^circ

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