Sejam x, y \in \mathbb{R} positivos. Mostre que se x \neq y, então x / y+y / x>2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados x,y>0 com x\neq y, vale
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2.
O conteúdo envolve manipulação algébrica de frações e uso da propriedade de que todo quadrado real é não negativo, sendo estritamente positivo se seu radicando for não nulo.

Passo 2

Começamos analisando a diferença
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador xy, obtemos
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2 =\frac{x^2+y^2-2xy}{xy} =\frac{(x-y)^2}{xy}.

Passo 3

Como x\neq y, o numerador (x-y)^2 é estritamente positivo. Além disso, xy>0 por hipótese. Logo,
\frac{(x-y)^2}{xy}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2.

Resposta

\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>2.

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