Dados os intervalos A=x in R mid-3<x<3 e B=x in R mid-1 <= 4 x>2, determine A cup B, A cap B, A-B e B-A.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos em R definidos por intervalos e pede as operações de união, interseção e diferença. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos aplicada a intervalos reais:
– União ( Acup B) é o menor conjunto que contém simultaneamente A e B.
– Interseção ( Acap B) são os elementos comuns a A e B.
– Diferença ( A-B) são os elementos que estão em A mas não em B.

Passo 2

Descrevemos A explicitamente.
Por definição,
A = xinRmid -3 < x < 3
é simplesmente o intervalo aberto
A = (-3,,3)

Passo 3

Resolvemos B a partir das desigualdades
-1 <= 4x <= 2
Dividindo tudo por 4 (que é positivo, logo não inverte as desigualdades), obtemos
-tfrac14 <= x <= tfrac12
Logo
B = l[-tfrac14,,tfrac12r]

Passo 4

Calculamos a união Acup B. Como
A = (-3,,3) e B = l[-tfrac14,,tfrac12r]
e o intervalo B está contido em A, a união é simplesmente
Acup B = (-3,,3)

Passo 5

Calculamos a interseção Acap B. São os x que estão em ambos, ou seja,
Acap B = l[-tfrac14,,tfrac12r]
Isso porque Bsubset A.

Passo 6

Calculamos a diferença A - B. São todos os pontos de A que não estão em B. Geometricamente, retiramos o pedaço l[-tfrac14,,tfrac12r] de (-3,3), dando
A - B = (-3,,-tfrac14);cup;(tfrac12,,3)

Passo 7

Calculamos a diferença B - A. São os pontos de B que não estão em A. Mas vimos que Bsubset A, logo não sobra nada:
B - A = emptyset

Resposta

A cup B = (-3,,3) A cap B = l[-tfrac14,,tfrac12r] A - B = (-3,,-tfrac14);cup;(tfrac12,,3) B - A = emptyset

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