integral -4 x2(x^2-1)^3 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos resolver a integral
integral -4 x2(x^2-1)^3 , dx
O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração. Observando
-4x2(x^2 - 1)^3,
podemos dividir o numerador e o denominador por 2:
-4x2(x^2 - 1)^3 = -2x(x^2 -1)^3

Passo 3

Agora, vamos identificar uma substituição que facilite a integração. Vemos que a expressão x^2 -1 está no denominador, o que sugere que podemos definir u = x^2 -1.

Passo 4

Calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
u = x^2 -1
dudx = 2x
Então,
du = 2x , dx
Vamos isolar x , dx:
x , dx = du2

Passo 5

Substituímos na integral original:
integral -2x(x^2 -1)^3 , dx = -2 integral x(x^2 -1)^3 , dx
Substituindo x , dx = du2 e x^2 -1 = u, temos:
-2 integral 1u^3 cdot du2 = - integral u^-3 , du

Passo 6

Agora, integramos u^-3 em relação a u:
integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C
Portanto, a integral fica:
- ( -12u^2 ) + C = 12u^2 + C

Passo 7

Finalmente, substituímos u = x^2 -1 de volta:
12(x^2 -1)^2 + C

Resposta

A integral integral -4x2(x^2-1)^3 , dx é igual a
12(x^2 -1)^2 + C,
onde C é a constante de integração.

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