Dados os intervalos: \mathrm{A}=] 5,9], \mathrm{B}=[7,11], \mathrm{C}=]-2,+\infty[ e \mathrm{D}=]-\infty, 8], determinar:
A \cup B

Passo 1

O enunciado dá quatro intervalos, dos quais usaremos apenas os dois primeiros. As informações fornecidas são:
  • A = ]5,9].
  • B = [7,11].
O que o problema pede: determinar A \cup B, isto é, a união dos conjuntos A e B.

Passo 2

Primeiro, um lembrete didático sobre união de conjuntos e intervalos (explicado devagarzinho, como se estivéssemos estudando juntos).
  • Definição de união: para quaisquer conjuntos X e Y, X\cup Y=\{x \mid x\in X \text{ ou } x\in Y\}.Isso significa que um número pertence a X\cup Y se pertence a pelo menos um dos dois conjuntos.
  • Para intervalos reais, a união de dois intervalos pode ser:
    • Um único intervalo, quando os intervalos se sobrepõem ou “encostam” (por exemplo, (1,4]\cup[3,6)=(1,6) com ajuste de extremos conforme abertura/fechamento).
    • Dois intervalos separados, quando há um espaço entre eles (por exemplo, (1,2)\cup(3,4) não se junta).
  • Regras sobre extremos: se o menor extremo entre os dois intervalos é aberto (ex.: ] ou ()) e nenhum dos intervalos contém exatamente esse ponto, então a união também não contém esse ponto; se o maior extremo é fechado em pelo menos um dos intervalos, a união contém esse ponto.

Passo 3

Vamos analisar A e B peça a peça, examinando os extremos e se há sobreposição.
  • Escrever em palavras o que cada intervalo significa:
    • A=]5,9] quer dizer "todos os x tais que 5<x\le 9".
    • B=[7,11] quer dizer "todos os x tais que 7\le x\le 11".
  • Verificar se há sobreposição: tome x=7. Tem 5<7\le 9, logo 7\in A. Também 7\in B por ser o extremo esquerdo fechado de B. Assim 7\in A\cap B, ou seja, a interseção não é vazia. Conclusão: os intervalos se sobrepõem, por isso a união será um único intervalo contínuo (sem lacunas) do menor limite esquerdo até o maior limite direito.
  • Determinar os limites extremos do intervalo unido:
    • Limite à esquerda: o menor número que aparece entre os dois intervalos é 5 (aparece como extremo de A). Verificar se 5 pertence à união: 5\notin A (porque A é aberto em 5) e 5\notin B (porque B começa em 7). Logo 5 não pertence a A\cup B. Portanto o extremo esquerdo será aberto (exclui 5).
    • Limite à direita: o maior número entre os dois intervalos é 11 (extremo de B). Como 11\in B (fechado), 11\in A\cup B. Portanto o extremo direito da união será fechado (inclui 11).

Passo 4

Agora fazemos uma prova por inclusão dupla (para ter certeza absoluta — jeitinho de prova que sempre vale na prova):
  • Mostrando A\cup B \subseteq \{x\mid 5<x\le 11\}:
    • Se x\in A então 5<x\le 9, logo 5<x\le 11.
    • Se x\in B então 7\le x\le 11, logo 5<x\le 11.
    • Em ambos os casos x satisfaz 5<x\le 11. Assim qualquer elemento de A\cup B está em \{x\mid 5<x\le 11\}.
  • Mostrando \{x\mid 5<x\le 11\}\subseteq A\cup B:
    • Seja y tal que 5<y\le 11. Se y\le 9 então 5<y\le 9, portanto y\in A. Se y>9 então necessariamente y>9>7 e como y\le 11 temos 7<y\le 11, logo y\in B (porque B contém todos os x com 7\le x\le 11; no caso y>9 implica y\ge 9{,}000\ldots>7, portanto pertence a B). Assim qualquer y com 5<y\le 11 pertence a A ou a B, e portanto a A\cup B.
  • Como houve inclusão em ambos os sentidos, os conjuntos são iguais. Isso confirma rigorosamente a união que já intuímos nos passos anteriores.

Resposta

]5,11]

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