Dados os intervalos:
e
, determinar:
Passo 1
O enunciado dá quatro intervalos, dos quais usaremos apenas os dois primeiros. As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que o problema pede: determinar
, isto é, a união dos conjuntos
e
.
Passo 2
Primeiro, um lembrete didático sobre união de conjuntos e intervalos (explicado devagarzinho, como se estivéssemos estudando juntos).
- Definição de união: para quaisquer conjuntos
e , Isso significa que um número pertence a se pertence a pelo menos um dos dois conjuntos. - Para intervalos reais, a união de dois intervalos pode ser:
- Um único intervalo, quando os intervalos se sobrepõem ou “encostam” (por exemplo,
com ajuste de extremos conforme abertura/fechamento). - Dois intervalos separados, quando há um espaço entre eles (por exemplo,
não se junta).
- Um único intervalo, quando os intervalos se sobrepõem ou “encostam” (por exemplo,
- Regras sobre extremos: se o menor extremo entre os dois intervalos é aberto (ex.:
ou ) e nenhum dos intervalos contém exatamente esse ponto, então a união também não contém esse ponto; se o maior extremo é fechado em pelo menos um dos intervalos, a união contém esse ponto.
Passo 3
Vamos analisar
e
peça a peça, examinando os extremos e se há sobreposição.
- Escrever em palavras o que cada intervalo significa:
-
quer dizer "todos os tais que ". -
quer dizer "todos os tais que ".
-
- Verificar se há sobreposição: tome
. Tem , logo . Também por ser o extremo esquerdo fechado de . Assim , ou seja, a interseção não é vazia. Conclusão: os intervalos se sobrepõem, por isso a união será um único intervalo contínuo (sem lacunas) do menor limite esquerdo até o maior limite direito. - Determinar os limites extremos do intervalo unido:
- Limite à esquerda: o menor número que aparece entre os dois intervalos é
(aparece como extremo de ). Verificar se pertence à união: (porque é aberto em ) e (porque começa em ). Logo não pertence a . Portanto o extremo esquerdo será aberto (exclui ). - Limite à direita: o maior número entre os dois intervalos é
(extremo de ). Como (fechado), . Portanto o extremo direito da união será fechado (inclui ).
- Limite à esquerda: o menor número que aparece entre os dois intervalos é
Passo 4
Agora fazemos uma prova por inclusão dupla (para ter certeza absoluta — jeitinho de prova que sempre vale na prova):
- Mostrando
: - Se
então , logo . - Se
então , logo . - Em ambos os casos
satisfaz . Assim qualquer elemento de está em .
- Se
- Mostrando
: - Seja
tal que . Se então , portanto . Se então necessariamente e como temos , logo (porque contém todos os com ; no caso implica , portanto pertence a ). Assim qualquer com pertence a ou a , e portanto a .
- Seja
- Como houve inclusão em ambos os sentidos, os conjuntos são iguais. Isso confirma rigorosamente a união que já intuímos nos passos anteriores.