Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função f dada por:
f(x)=\frac{x-2}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=\frac{x-2}{1+x^{2}}
e pede:
  • encontrar os intervalos em que f cresce e decresce;
  • encontrar os valores extremos locais (mínimos e máximos locais), quando existirem.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
  • A função está escrita como uma razão \dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=x-2 e v(x)=1+x^{2}.
  • O domínio natural é todo \mathbb{R} porque v(x)=1+x^{2}>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para aplicar o Teste da Primeira Derivada precisamos calcular f'(x), achar os pontos críticos onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe, e analisar o sinal de f' à esquerda e à direita desses pontos.

Passo 2

Calcular f'(x). Vou usar a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=x-2 e v(x)=1+x^{2}. Então
u'(x)=1,\qquad v'(x)=2x.
Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{1\cdot(1+x^{2})-(x-2)\cdot(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 3

Simplificar o numerador de f'(x). O numerador é
1+x^{2}-2x(x-2)=1+x^{2}-2x^{2}+4x= -x^{2}+4x+1.
Portanto
f'(x)=\frac{-x^{2}+4x+1}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 4

Encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e verificando onde f' não existe.
  • O denominador (1+x^{2})^{2} é sempre positivo, logo f'(x) existe para todo x\in\mathbb{R}.
  • Logo, os pontos críticos são as raízes do numerador -x^{2}+4x+1=0. É mais simples escrever como
x^{2}-4x-1=0.
Usando a fórmula quadrática com a=1, b=-4, c=-1:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=16+4=20.
As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=2\pm\sqrt{5}.
Portanto os pontos críticos são x_{1}=2-\sqrt{5} e x_{2}=2+\sqrt{5}.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Podemos fatorar o numerador ou usar testes por pontos. Reescrevendo o numerador:
-x^{2}+4x+1 = -\bigl(x^{2}-4x-1\bigr) = -\bigl(x-(2+\sqrt{5})\bigr)\bigl(x-(2-\sqrt{5})\bigr).
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f'(x) é o mesmo do sinal do numerador acima. Vamos testar um valor em cada intervalo:
  • Para x<2-\sqrt{5}: por exemplo x=-1. Então
f'(-1)=\frac{-(-1)^{2}+4(-1)+1}{(1+(-1)^{2})^{2}}=\frac{-1-4+1}{(1+1)^{2}}=\frac{-4}{4}=-1<0.
Logo f'(x)<0 em (-\infty,\,2-\sqrt{5}).
  • Para 2-\sqrt{5}<x<2+\sqrt{5}: por exemplo x=0. Então
f'(0)=\frac{0+0+1}{(1+0)^{2}}=1>0.
Logo f'(x)>0 em (2-\sqrt{5},\,2+\sqrt{5}).
  • Para x>2+\sqrt{5}: por exemplo x=5. Então
f'(5)=\frac{-25+20+1}{(1+25)^{2}}=\frac{-4}{26^{2}}<0.
Logo f'(x)<0 em (2+\sqrt{5},\,\infty).
Conclusão do sinal:
f'(x)<0\text{ em }(-\infty,\,2-\sqrt{5})\quad,\quad f'(x)>0\text{ em }(2-\sqrt{5},\,2+\sqrt{5})\quad,\quad f'(x)<0\text{ em }(2+\sqrt{5},\,\infty).

Passo 6

Interpretar pelo Teste da Primeira Derivada:
  • Em x=2-\sqrt{5} a derivada passa de negativa para positiva (decr. \to cresc.), portanto f tem um mínimo local em x=2-\sqrt{5}.
  • Em x=2+\sqrt{5} a derivada passa de positiva para negativa (cresc. \to decr.), portanto f tem um máximo local em x=2+\sqrt{5}.

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos críticos (valores extremos).
  • Para x=2+\sqrt{5}:
f(2+\sqrt{5})=\frac{(2+\sqrt{5})-2}{1+(2+\sqrt{5})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{1+4+4\sqrt{5}+5}=\frac{\sqrt{5}}{10+4\sqrt{5}}.
Simplificando (racionalizando ou fatorando):
\frac{\sqrt{5}}{10+4\sqrt{5}}=\frac{1}{2(\sqrt{5}+2)}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}.
Portanto o máximo local vale f(2+\sqrt{5})=\dfrac{\sqrt{5}-2}{2} (aprox. 0{,}118).
  • Para x=2-\sqrt{5}:
f(2-\sqrt{5})=\frac{(2-\sqrt{5})-2}{1+(2-\sqrt{5})^{2}}=\frac{-\sqrt{5}}{10-4\sqrt{5}}.
Simplificando:
\frac{-\sqrt{5}}{10-4\sqrt{5}}=-\frac{1}{2(\sqrt{5}-2)}=-\frac{\sqrt{5}+2}{2}.
Portanto o mínimo local vale f(2-\sqrt{5})=-\dfrac{\sqrt{5}+2}{2} (aprox. -2{,}118).

Resposta

f cresce em \bigl(2-\sqrt{5},\,2+\sqrt{5}\bigr)
f decresce em (-\infty,\,2-\sqrt{5}) e em (2+\sqrt{5},\,\infty)
Mínimo local: em x=2-\sqrt{5} com f(2-\sqrt{5})=-\dfrac{\sqrt{5}+2}{2}
Máximo local: em x=2+\sqrt{5} com f(2+\sqrt{5})=\dfrac{\sqrt{5}-2}{2}

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