Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede:
- encontrar os intervalos em que
cresce e decresce; - encontrar os valores extremos locais (mínimos e máximos locais), quando existirem.
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que vamos usar):
- A função está escrita como uma razão
com e . - O domínio natural é todo
porque para todo . - Para aplicar o Teste da Primeira Derivada precisamos calcular
, achar os pontos críticos onde ou não existe, e analisar o sinal de à esquerda e à direita desses pontos.
Passo 2
Calcular
. Vou usar a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Simplificar o numerador de
. O numerador é
Portanto
Passo 4
Encontrar os pontos críticos resolvendo
e verificando onde
não existe.
- O denominador
é sempre positivo, logo existe para todo . - Logo, os pontos críticos são as raízes do numerador
. É mais simples escrever como
Usando a fórmula quadrática com
,
,
:
As raízes são
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Analisar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Podemos fatorar o numerador ou usar testes por pontos. Reescrevendo o numerador:
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
é o mesmo do sinal do numerador acima. Vamos testar um valor em cada intervalo:
- Para
: por exemplo . Então
Logo
em
.
- Para
: por exemplo . Então
Logo
em
.
- Para
: por exemplo . Então
Logo
em
.
Conclusão do sinal:
Passo 6
Interpretar pelo Teste da Primeira Derivada:
- Em
a derivada passa de negativa para positiva (decr. cresc.), portanto tem um mínimo local em . - Em
a derivada passa de positiva para negativa (cresc. decr.), portanto tem um máximo local em .
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos críticos (valores extremos).
- Para
:
Simplificando (racionalizando ou fatorando):
Portanto o máximo local vale
(aprox.
).
- Para
:
Simplificando:
Portanto o mínimo local vale
(aprox.
).
Resposta
Mínimo local: em
Máximo local: em