Dados:
A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rrr}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right] e
\mathrm{C}=\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right]
Assinale V para verdadeiro e F para falso:
( ) A+B=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 4 \\\\ 4 & 1 & 0\end{array}\right]
( ) \mathrm{AC}=\left[\begin{array}{r}15 \\\\ -4\end{array}\right]
( ) -\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\\\ -2 & -1 & 1\end{array}\right]
( ) \mathrm{CA}=\left[\begin{array}{ll}15 & -4\end{array}\right]
( ) A^{\top}+B^{\top}=\left[\begin{array}{rr}-1 & 5 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[6pt] 2 & 1 & -1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}-2 & 0 & 1 \\[6pt] 3 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}-1 \\[3pt] 2 \\[3pt] 4\end{pmatrix},
e pede para determinar se cada uma das operações abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar operações de soma, multiplicação, transposição e negação de matrizes.]

Passo 2

Para A+B, somamos termo a termo, pois ambas são 2\times3:
A+B = \begin{pmatrix} 1+(-2) & 2+0 & 3+1 \\[3pt] 2+3 & 1+0 & -1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 \\[3pt] 5 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Como o segundo elemento da segunda linha deveria ser 4 no enunciado, a afirmação é falsa.]

Passo 3

Para AC, multiplicamos A 2\times3 por C 3\times1, resultando em vetor 2\times1:
AC = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1) + 2\cdot2 + 3\cdot4 \\[3pt] 2\cdot(-1) + 1\cdot2 + (-1)\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 4 + 12 \\[3pt] -2 + 2 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\[3pt] -4 \end{pmatrix}.
Isso coincide com o enunciado, logo é verdadeiro.]

Passo 4

Para -A, basta multiplicar todos os elementos de A por -1:
-A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\[3pt] -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Isto coincide com o enunciado, portanto é verdadeiro.]

Passo 5

A multiplicação CA exigiria C sendo m\times n e A sendo n\times p. Aqui C é 3\times1 e A é 2\times3, mas 1\neq2, então CA não está definida. A afirmação é falsa.

Passo 6

Calculamos A^{\top} e B^{\top}, ambas 3\times2, e somamos termo a termo:
A^{\top} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 2 & 1 \\[3pt] 3 & -1\end{pmatrix}, \quad B^{\top} = \begin{pmatrix}-2 & 3 \\[3pt] 0 & 0 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix},
A^{\top}+B^{\top} = \begin{pmatrix} 1+(-2) & 2+3 \\[3pt] 2+0 & 1+0 \\[3pt] 3+1 & -1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\[3pt] 2 & 1 \\[3pt] 4 & 0 \end{pmatrix}.
Isto coincide com o enunciado, então é verdadeiro.]

Resposta

F, V, V, F, V

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