O determinante da matriz A é igual a -4 . Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados. Calcule o traço da matriz obtida do produto entre B e C . A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 9 & 1 \\\\ -1 & y & 0 \\\\ 6 & 4 & 2 y\end{array}\right]
a. \quad \operatorname{traço}(B C)=2̧
b. \operatorname{traço}(B C)=4̧
C. \quad \operatorname{traço}(B C)=5̧
d. \quad \operatorname{traço}(B C)=3̧
e. \operatorname{traço}(B C)=1̧

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 1\\\\ -1 & y & 0\\\\ 6 & 4 & 2y \end{pmatrix}
e informa que \det(A)=-4. Precisamos achar os valores de y que satisfazem isso, definir B como A com o menor y e C como A com o maior y, e então calcular o traço de BC. O conteúdo é determinante de matriz e produto de matrizes.

Passo 2

Calcular \det(A) por expansão na primeira linha:
\det(A) =3\det\begin{pmatrix}y&0\\\ 4&2y\end{pmatrix} -9\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ 6&2y\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}-1&y\\\ 6&4\end{pmatrix}.
Isso dá
\det(A) =3\,(y\cdot2y-0\cdot4) -9\,((-1)\cdot2y-0\cdot6) +1\,((-1)\cdot4-y\cdot6) =6y^2+18y-4-6y=6y^2+12y-4.

Passo 3

Igualar ao valor fornecido -4:
6y^2+12y-4=-4 \quad\Longrightarrow\quad 6y^2+12y=0 \quad\Longrightarrow\quad 6y(y+2)=0.
Logo os valores são
y=0 \quad\text{e}\quad y=-2.

Passo 4

O menor valor é y=-2 e o maior é y=0. Assim
B = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 1\\\\ -1 & -2 & 0\\\\ 6 & 4 & -4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 9 & 1\\\\ -1 & 0 & 0\\\\ 6 & 4 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular o produto BC. Fazendo a multiplicação linha × coluna, obtém-se
BC =\begin{pmatrix} 6 & 31 & 3\\\\ -1 & -9 & -1\\\\ -10 & 38 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 6

O traço é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{tr}(BC)=6+(-9)+6=3.

Resposta

\operatorname{tr}(BC)=3.

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