Sejam
e
. Determine
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três funções:
A tarefa é encontrar o limite de
quando
tende a 1, onde:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, funções compostas e propriedades de funções inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de
. Vamos olhar para o denominador:
Sabemos que uma função composta com sua inversa,
, simplifica para
. Então:
Agora, substituímos isso na expressão de
:
Passo 3
Vamos substituir
na equação. Como
, temos:
Então, a expressão agora é:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a 1. Primeiro, calculamos
:
Então, quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação na expressão de
:
Vamos calcular o limite disso quando
tende a 1:
Resposta
O limite é
.