Sejam f(x)=sin (5 x), g(x)=x^2-1 e h(x)=ln (x-1). Determine lim x 1 F(x), sabendo que F(x)=f(g(x))g(x) cdot h(h^-1(x-3)).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem três funções:
  • F(x) = f(g(x))g(x) cdot h(h^-1(x-3))
A tarefa é encontrar o limite de quando tende a 1, onde:
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, funções compostas e propriedades de funções inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de h(h^-1(x-3)) . Vamos olhar para o denominador:
h(h^-1(x-3)) = x - 3
Sabemos que uma função composta com sua inversa, F(x) = f(g(x))g(x) cdot (x - 3) , simplifica para . Então:
Agora, substituímos isso na expressão de :

Passo 3

Vamos substituir f(g(x)) = sin(5g(x)) na equação. Como F(x) = sin(5g(x))g(x) cdot (x - 3) , temos:
Então, a expressão agora é:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite quando g(1) = 1^2 - 1 = 0 tende a 1. Primeiro, calculamos sin(5g(x))g(x) = 5 cdot sin(5g(x))5g(x) approx 5 :
Então, quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação na expressão de F(x) approx 5x - 3 :
limx to 1 5x - 3 = 51 - 3 = 5-2 = -52
Vamos calcular o limite disso quando tende a 1:

Resposta

O limite é .

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