Dados P=(3,-2,4), r=lx=3+t y=-7-2 t z=2-t , determine:
a) As equações paramétricas da reta s que passa por P perpendicularmente à reta r.
b) O ponto Q que é a projeção ortogonal de P em r.
c) O ponto R simétrico de P em relação à reta r.
d) A distância de P até r.

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto P=(3,-2,4) e a reta r definida pelas equações paramétricas
x = 3 + t, y = -7 - 2t, z = 2 - t
Precisamos:
a) achar a reta s que passa por P e é perpendicular a r;
b) determinar o ponto Q projeção ortogonal de P em r;
c) encontrar o ponto R simétrico de P em relação a r;
d) calcular a distância de P até r.
O conteúdo envolve operações vetoriais em R^3: vetor diretor, produto escalar, projeção de vetor, equações de reta e fórmula de distância.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de r e um ponto A em r. Para t=0 temos
A = (3,-7,2),
e o vetor diretor
v = (1,-2,-1)
Em seguida calculamos o vetor AP = P - A:
AP = (3,-2,4) - (3,-7,2) = (0,5,2)

Passo 3

Usamos a projeção de AP sobre v. O escalar
t0 = APcdot v| v|^2 = 0cdot1 + 5cdot(-2) + 2cdot(-1)1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = -10 - 26 = -2
Isso dá o vetor projeção proj vAP = t0, v = (-2,4,2). O ponto Q é
Q = A + (-2,4,2) = (3-2,,-7+4,,2+2) = (1,-3,4)

Passo 4

A reta s é o segmento perpendicular a r que une P a Q. Seu vetor diretor é
PQ = Q - P = (1,-3,4) - (3,-2,4) = (-2,-1,0)
Como passa por P, as equações paramétricas de s são
x = 3 - 2lambda, y = -2 - lambda, z = 4

Passo 5

O ponto simétrico R de P em relação a r obtém-se refletindo P em Q:
R = 2Q - P = 2,(1,-3,4) - (3,-2,4) = (-1,-4,4)

Passo 6

A distância de P a r é o comprimento de PQ:
dist(P,r) = l|PQr| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz5

Resposta

a) As equações paramétricas de s são
x = 3 - 2lambda, y = -2 - lambda, z = 4
b) Q = (1,-3,4)
c) R = (-1,-4,4)
d) dist(P,r) = raiz5

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