Mostre que são reversas as retas:
r=x-32=y+1-1=z+41 e
s=lx=5+mu y=-4+mu z=1-2 mu
Dica: Se duas retas não são paralelas então serão coplanares se existir algum ponto de interseção. Se isto não ocorre, então são reversas.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em
e
Queremos mostrar que são reversas (skew), ou seja, não são paralelas e não se intersectam.

Passo 2

Encontramos um ponto e o vetor diretor de cada reta.
Para
logo ponto .
Para , já vem em forma paramétrica com :

Passo 3

Verificamos se vec vr e vec vs são colineares. Buscamos lambda tal que
(2,-1,1)=lambda,(1,1,-2)
Isso exigiria
2=lambda, -1=lambda, 1=-2lambda,
o que é impossível (por exemplo lambda=2neq -1). Portanto as retas não são paralelas.

Passo 4

Tentamos achar ponto de interseção, isto é, 3+2t=5+mu, -1-t=-4+mu e -4+t=1-2mu. Das duas primeiras equações:
3+2t=5+muimplies2t-mu=2,
-1-t=-4+muimplies -t-mu=-3implies t+mu=3
Solução dá t=5/3, mu=4/3. Mas na terceira equação teríamos
-4+t=-4+tfrac53=-tfrac73, 1-2mu=1-tfrac83=-tfrac53,
que não coincidem. Logo não há interseção.

Passo 5

Como as retas não são paralelas e não se intersectam, conclui-se que são reversas (skew).

Resposta

As retas r e s são reversas.

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