Encontre o (menor) ângulo entre as retas r=lx=4+alpha y=3 z=alpha , s=lx=10+beta y=-4+2 beta z=5-3 beta

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3 em forma paramétrica e pede o menor ângulo entre elas. O conteúdo envolvido é o cálculo de ângulo entre retas usando produto escalar de vetores diretores.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores a partir dos parâmetros.
Para
os coeficientes de
Para
os coeficientes de (\beta] formam

Passo 3

A fórmula do cosseno do ângulo theta entre dois vetores é
costheta = l|vrcdotvsr||vr|;|vs|
Calculamos o produto escalar:
vrcdotvs =1cdot1 + 0cdot2 + 1cdot(-3) =-2,
logo l|vrcdotvsr|=2.

Passo 4

Calculamos os módulos dos vetores:
|vr|=raiz1^2+0^2+1^2=raiz2, |vs|=raiz1^2+2^2+(-3)^2=raiz14
Substituindo em costheta:
costheta = 2raiz2,raiz14 = 2raiz28 = 1raiz7

Passo 5

O menor ângulo entre as retas é o ângulo agudo dado por
theta = arccos!l(1raiz7r)
Em graus isso vale aproximadamente
theta approx 67,79^circ

Resposta

theta = arccos!(1raiz7) (aprox.\ 67,79^circ).

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