Determine em r=lx=4+t y=-3-t z=1+2 t os pontos tais que suas distâncias ao ponto (6, -4,3 ) sejam iguais a 3.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: x=4+t, y=-3-t, z=1+2t,
e pede os pontos P(t)=(4+t,,-3-t,,1+2t) tais que a distância de P(t) ao ponto A=(6,-4,3) seja igual a 3. Vamos usar a fórmula da distância no espaço, que leva a uma equação em t.

Passo 2

A distância de P(t) a A é
d(t)=raizl((4+t)-6r)^2+l((-3-t)-(-4)r)^2+l((1+2t)-3r)^2,
Impor d(t)=3 equivale a
l((4+t)-6r)^2+l((-3-t)+4r)^2+l((1+2t)-3r)^2=3^2

Passo 3

Calculemos cada termo:
(4+t)-6 = t-2,
(-3-t)+4 = 1-t,
(1+2t)-3 =2t-2.
Então a equação torna-se
(t-2)^2+(1-t)^2+(2t-2)^2=9
Expandindo e somando:
t^2-4t+4 + t^2-2t+1 + 4t^2-8t+4 =9
6t^2 -14t +9 =9

Passo 4

Subtraindo 9 de ambos os lados obtém-se
6t^2 -14t =0 Longrightarrow 2t(3t-7)=0,
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t=0 ou t=tfrac73

Passo 5

Substituindo em P(t):
Para t=0,
P(0)=(4,-3,1)
Para t=tfrac73,
Pl(tfrac73r) =l(4+tfrac73,,-3-tfrac73,,1+2cdottfrac73r) =l(tfrac193,,-tfrac163,,tfrac173r)

Resposta

Os pontos procurados são
(4,-3,1) e l(tfrac193,,-tfrac163,,tfrac173r)

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