Determine as equações paramétricas da perpendicular p comum às retas reversas r=lx=7+alpha y=2+alpha z=3 , s=lx=2+beta y=-3-3 beta z=-3-beta

Passo 1

O enunciado dá duas retas reversas (não se cruzam nem são paralelas):
r:,x=7+alpha,;y=2+alpha,;z=3 e
s:,x=2+beta,;y=-3-3beta,;z=-3-beta.
Queremos a reta p que seja perpendicular a ambas.

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico P em r e um ponto genérico Q em s:
P(alpha)=l(7+alpha,;2+alpha,;3r),
Q(beta)=l(2+beta,;-3-3beta,;-3-betar)
O vetor PQ vale
PQ =Q(beta)-P(alpha) =l(beta-alpha-5,;-5-3beta-alpha,;-6-betar)

Passo 3

Para ser perpendicular a r e a s, requeremos
PQcdotdr=0, PQcdotds=0,
onde dr=(1,1,0) e ds=(1,-3,-1).
Isso gera o sistema
(beta-alpha-5)+( -5-3beta-alpha)=0,
(beta-alpha-5)cdot1+(-5-3beta-alpha)cdot(-3)+(-6-beta)cdot(-1)=0

Passo 4

O primeiro dá
beta-alpha-5-5-3beta-alpha=0 ;Longrightarrow; beta+!-!3beta-!2alpha-10=0 ;Longrightarrow; -2(alpha+beta+5)=0 ;Longrightarrow; alpha+beta+5=0
O segundo vira
beta-alpha-5+3(5+3beta+alpha)+6+beta=0 ;Longrightarrow; 11beta+2alpha+16=0
Resolvendo
alpha+beta+5=0, 2alpha+11beta+16=0,
obtemos beta=-tfrac23 e alpha=-tfrac133.

Passo 5

O ponto em r é
Pl(-tfrac133r) =l(7-tfrac133,,2-tfrac133,,3r) =l(tfrac83,,-tfrac73,,3r)
O vetor PQ (com alpha,beta achados) fica
PQ =l(tfrac43-tfrac83,,-1+tfrac73,,-tfrac73-3r) =l(-tfrac43,,tfrac43,,-tfrac163r),
que simplifica (multiplicando por -3/4) em (1,-1,4). Logo a reta p passa por P e tem direção (1,-1,4).

Resposta

As equações paramétricas da perpendicular comum são
boxed x&=tfrac83+t, y&=-tfrac73-t, z&=3+4t, tinR

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