Dados m, n inteiros positivos, considere Ei j a matriz m times n que possui todas as entradas nulas, exceto na posição i j, que vale 1 . Verifique que:
M(2 times 3, R) é uma base para ;

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto E11,E12,E13,E21,E22,E23 é uma base de M(2times3, R). Vamos usar as definições de espaço vetorial de matrizes, gerações por combinação linear e independência linear.

Passo 2

Para mostrar que gera, tomamos uma matriz arbitrária AinM(2times3, R) com entradas aij:
A=a11&a12&a13 a21&a22&a23
Repare que cada Eij tem 1 apenas na posição (i,j) e zero nas demais. Então é imediato escrever:
A=a11E11+a12E12+a13E13+a21E21+a22E22+a23E23
Isso mostra que o conjunto gera todo M(2times3, R).

Passo 3

Para verificar independência linear, consideremos uma combinação linear nula:
c11E11+c12E12+cdots+c23E23=02times3
Olhemos a entrada (i,j) desse lado esquerdo: só entra cijEij, logo cada coeficiente cij deve ser zero. Assim, todos os cij=0, provando a independência.

Passo 4

Sabendo que o espaço M(2times3, R) tem dimensão 2cdot3=6 e tendo um conjunto de 6 vetores que é ao mesmo tempo gerador e linearmente independente, concluímos que esse conjunto é base.

Resposta

O conjunto {E_{11}, E_{12}, E_{13}, E_{21}, E_{22}, E_{23}} forma uma base de M(2times3, R).

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