Dados
inteiros positivos, considere
a matriz
que possui todas as entradas nulas, exceto na posição
, que vale 1 . Verifique que:
é uma base para
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o conjunto
é uma base de
. Vamos usar as definições de espaço vetorial de matrizes, gerações por combinação linear e independência linear.
Passo 2
Para mostrar que gera, tomamos uma matriz arbitrária
com entradas
:
Repare que cada
tem 1 apenas na posição
e zero nas demais. Então é imediato escrever:
Isso mostra que o conjunto gera todo
.
Passo 3
Para verificar independência linear, consideremos uma combinação linear nula:
Olhemos a entrada
desse lado esquerdo: só entra
, logo cada coeficiente
deve ser zero. Assim, todos os
, provando a independência.
Passo 4
Sabendo que o espaço
tem dimensão
e tendo um conjunto de 6 vetores que é ao mesmo tempo gerador e linearmente independente, concluímos que esse conjunto é base.
Resposta
O conjunto {E_{11}, E_{12}, E_{13}, E_{21}, E_{22}, E_{23}} forma uma base de
.