Determine, se possível, os parâmetros para que os operadores representados pelas seguintes matrizes sejam (i) ortogonais e (ii) auto-adjuntos:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar valores de a, b e c na matriz
M = a & b & b 0 & 1 & 0 0 & 0 & c
para que o operador seja (i) ortogonal e (ii) auto-adjunto. O conteúdo envolve verificar as condições de ortogonalidade (M^T M = I) e de auto-adjunta (M = M^T).
Passo 2
Para ver quando M é ortogonal, usamos a condição
M^T M = I
Sejam os elementos de M^T M gerados por linhas de M^T e colunas de M. Igualando cada entrada à identidade, obtemos:
• (1,1): a^2=1 → a=pm1.
• (2,2): b^2+1=1 → b^2=0 → b=0.
• (3,3): b^2+c^2=1 com b=0 → c^2=1 → c=pm1.
As condições off-diagonais (como a b=0) também se satisfazem com essas escolhas.
Passo 3
Para ver quando M é auto-adjunto, usamos a simetria
M = M^T
Comparando entradas:
• M12=b = M21=0 → b=0.
• M13=b = M31=0 → já dá b=0.
As outras entradas na diagonal impõem apenas que a e c sejam reais (o que já estava implícito). Portanto, qualquer a, cinR e b=0 funcionam.
Passo 4
As soluções são independentes: para ortogonalidade limitamos a, c a ±1 e forçamos b=0; para auto-adjunto basta b=0 com a, c reais.
Resposta
(i) Para ser ortogonal: a=±1, b=0, c=±1.
(ii) Para ser auto-adjunto: b=0 e a, c são quaisquer reais.