Determine, se possível, os parâmetros a, b, c para que os operadores representados pelas seguintes matrizes sejam (i) ortogonais e (ii) auto-adjuntos:
llla & b & b 0 & 1 & 0 0 & 0 & c

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores de a, b e c na matriz
M = a & b & b 0 & 1 & 0 0 & 0 & c
para que o operador seja (i) ortogonal e (ii) auto-adjunto. O conteúdo envolve verificar as condições de ortogonalidade ( M^T M = I) e de auto-adjunta ( M = M^T).

Passo 2

Para ver quando M é ortogonal, usamos a condição
M^T M = I
Sejam os elementos de M^T M gerados por linhas de M^T e colunas de M. Igualando cada entrada à identidade, obtemos:
• (1,1): a^2=1 a=pm1.
• (2,2): b^2+1=1 b^2=0 b=0.
• (3,3): b^2+c^2=1 com b=0 c^2=1 c=pm1.
As condições off-diagonais (como a b=0) também se satisfazem com essas escolhas.

Passo 3

Para ver quando M é auto-adjunto, usamos a simetria
M = M^T
Comparando entradas:
M12=b = M21=0 b=0.
M13=b = M31=0 → já dá b=0.
As outras entradas na diagonal impõem apenas que a e c sejam reais (o que já estava implícito). Portanto, qualquer a, cinR e b=0 funcionam.

Passo 4

As soluções são independentes: para ortogonalidade limitamos a, c a ±1 e forçamos b=0; para auto-adjunto basta b=0 com a, c reais.

Resposta

(i) Para ser ortogonal: a=±1, b=0, c=±1.
(ii) Para ser auto-adjunto: b=0 e a, c são quaisquer reais.

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