Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3. Justifique as suas respostas.

Passo 1

Temos o subconjunto C=(x,y,z)inR^3mid z=x^2. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial de R^3. Para decidir se C é subespaço, vamos verificar: 1) se contém o vetor zero, 2) se é fechado sob soma e 3) se é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero (0,0,0). No nosso caso, teste z=x^2 em (0,0,0):
0 = 0^2
Isso é verdadeiro, logo (0,0,0)in C.

Passo 3

Agora testamos a soma de dois vetores genéricos em C. Seja
u=(x1,y1,x1^2), v=(x2,y2,x2^2)

Passo 4

Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;x1^2+x2^2)

Passo 5

Para pertencer a C, o terceiro componente deveria ser (x1+x2)^2=x1^2+2x1x2+x2^2, mas temos apenas x1^2+x2^2. Em geral
x1^2+x2^2neq x1^2+2x1x2+x2^2,
logo não há fechamento sob adição.

Passo 6

Podemos também ver que não há fechamento sob multiplicação escalar. Por exemplo, pegando v=(1,0,1)in C e lambda=2, temos
lambda v=(2,0,2),
mas 2neq 2^2=4, então (2,0,2)notin C.

Passo 7

Como pelo menos uma das propriedades (adição e multiplicação escalar) falha, concluímos que C não é subespaço vetorial de R^3.

Resposta

C não é subespaço vetorial de R^3.

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