Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
. Justifique as suas respostas.
Passo 1
Temos o subconjunto
. O conteúdo aqui é a definição de subespaço vetorial de
. Para decidir se
é subespaço, vamos verificar: 1) se contém o vetor zero, 2) se é fechado sob soma e 3) se é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero
. No nosso caso, teste
em
:
Isso é verdadeiro, logo
Passo 3
Agora testamos a soma de dois vetores genéricos em
. Seja
Passo 4
Então
Passo 5
Para pertencer a
, o terceiro componente deveria ser
, mas temos apenas
. Em geral
logo não há fechamento sob adição.
Passo 6
Podemos também ver que não há fechamento sob multiplicação escalar. Por exemplo, pegando
e
, temos
mas
Passo 7
Como pelo menos uma das propriedades (adição e multiplicação escalar) falha, concluímos que
não é subespaço vetorial de
.
Resposta
C não é subespaço vetorial de
.