Utilizando o processo de diagonalização de formas quadráticas, determine o tipo de seção cônica representada pelas equações dadas:
(a)
34 x^2-x y2+3 y^34=1
(b)
-2 x y=1
©
x^22-x y+v^22-y=0
(d)
78 x^2-raiz34 x y+58 y^2=1
(e)
12 x^2-raiz3 x y-12 y^2=1

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar a diagonalização de formas quadráticas pra descobrir de que tipo são várias seções cônicas dadas pelas equações (elipse, hipérbole ou parábola). Vamos precisar usar a parte quadrática de cada equação e aplicar a classificação via discriminante.

Passo 2

Para classificar uma seção cônica dada por Ax^2+Bxy+Cy^2+dots=0 sem se preocupar com translações ou termos lineares, usamos o discriminante
De
Se De, é elipse; se De, parábola; se De0, hipérbole.

Passo 3

Na letra (a) a equação é
34x^2 - 12xy + 34y^2 = 1
Aqui A=tfrac34, B=-tfrac12, C=tfrac34. Calculando
$$\Delta = \Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2 - 4\cdot\tfrac34\cdot\tfrac34 = \tfrac14 - \tfrac{9}{4} = -2 < 0,
$$
logo é elipse.

Passo 4

Na letra (b) temos
-2xy = 1,
o que equivale a A=0, B=-2, C=0. Então
$$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot0\cdot0 = 4 > 0,
$$
portanto é hipérbole.

Passo 5

Na letra © aparece
x^22 - xy + y^22 - y = 0
A parte quadrática dá A=tfrac12, B=-1, C=tfrac12. Logo
$$\Delta = (-1)^2 - 4\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12 = 1 - 1 = 0,
$$
então é parábola.

Passo 6

Na letra (d) a equação é
78x^2 - raiz34xy + 58y^2 = 1
Aqui A=tfrac78, B=-tfracraiz34, C=tfrac58, e
$$\Delta = \Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{4}\Bigr)^2 - 4\cdot\tfrac78\cdot\tfrac58
= \tfrac{3}{16} - \tfrac{35}{16} = -2 < 0,
$$
logo é elipse.

Passo 7

Na letra (e) temos
tfrac12x^2 - raiz3,xy - tfrac12y^2 = 1
Isso dá A=tfrac12, B=-raiz3, C=-tfrac12. Então
$$\Delta = (-\sqrt3)^2 - 4\cdot\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) = 3 + 1 = 4 > 0,
$$
portanto é hipérbole.

Resposta

(a) Elipse
(b) Hipérbole
© Parábola
(d) Elipse
(e) Hipérbole

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