Utilizando o processo de diagonalização de formas quadráticas, determine o tipo de seção cônica representada pelas equações dadas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
Passo 1
O enunciado pede pra gente usar a diagonalização de formas quadráticas pra descobrir de que tipo são várias seções cônicas dadas pelas equações (elipse, hipérbole ou parábola). Vamos precisar usar a parte quadrática de cada equação e aplicar a classificação via discriminante.
Passo 2
Para classificar uma seção cônica dada por
sem se preocupar com translações ou termos lineares, usamos o discriminante
Se
Passo 3
Na letra (a) a equação é
Aqui
$$\Delta = \Bigl(-\tfrac12\Bigr)^2 - 4\cdot\tfrac34\cdot\tfrac34 = \tfrac14 - \tfrac{9}{4} = -2 < 0,
$$
logo é elipse.
logo é elipse.
Passo 4
Na letra (b) temos
o que equivale a
$$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot0\cdot0 = 4 > 0,
$$
portanto é hipérbole.
portanto é hipérbole.
Passo 5
Na letra © aparece
A parte quadrática dá
$$\Delta = (-1)^2 - 4\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12 = 1 - 1 = 0,
$$
então é parábola.
então é parábola.
Passo 6
Na letra (d) a equação é
Aqui
$$\Delta = \Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{4}\Bigr)^2 - 4\cdot\tfrac78\cdot\tfrac58
= \tfrac{3}{16} - \tfrac{35}{16} = -2 < 0,
$$
logo é elipse.
logo é elipse.
Passo 7
Na letra (e) temos
Isso dá
$$\Delta = (-\sqrt3)^2 - 4\cdot\tfrac12\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr) = 3 + 1 = 4 > 0,
$$
portanto é hipérbole.
portanto é hipérbole.
Resposta
(a) Elipse
(b) Hipérbole
© Parábola
(d) Elipse
(e) Hipérbole
(b) Hipérbole
© Parábola
(d) Elipse
(e) Hipérbole