Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^3. Justifique as suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | z = 1 } é subespaço vetorial de ℝ³. O conteúdo principal é a definição de subespaço: precisamos checar se F contém o vetor zero, se é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Para ser subespaço, F deve conter o vetor zero (0,0,0). Como em F temos sempre z = 1, o vetor (0,0,0) não satisfaz z = 1. Logo, F não contém o vetor zero.

Passo 3

Verificamos também a fechadura sob soma: dados v₁ = (x₁,y₁,1) e v₂ = (x₂,y₂,1) em F, temos v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, 2). Esse vetor não pertence a F, pois a coordenada z = 2 ≠ 1.

Passo 4

Para fechar sob escalar, tome c ∈ ℝ e v = (x,y,1) em F. Então c·v = (c x, c y, c). Esse resultado só está em F se c = 1, mas a definição exige que seja para todo c. Logo, não há fechadura sob multiplicação escalar.

Resposta

F não é subespaço vetorial de ℝ³, pois não contém o vetor zero e falha na fechadura sob soma e multiplicação por escalar.

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