Dados m, n inteiros positivos, considere Ei j a matriz m times n que possui todas as entradas nulas, exceto na posição i j, que vale 1 . Verifique que:
2 times 2 é uma base para o subespaço das matrizes anti-simétricas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o conjunto {E_{12}} é base do subespaço das matrizes 2×2 antissimétricas. O conteúdo envolvido é a descrição das matrizes antissimétricas e a noção de dimensão e base de um subespaço vetorial.

Passo 2

Uma matriz 2×2 A é antissimétrica se A^T = –A. Escrevendo A = [a; b] [c; d] e impondo A^T = –A, obtemos a = –a e d = –d, logo a = d = 0, e b = –c.
Assim qualquer A antissimétrica tem a forma
A = 0 & b -b & 0 = bl(E12 - E21r)
Isso mostra que todo elemento do subespaço é múltiplo de E12 - E21, portanto esse conjunto gera o subespaço.

Passo 3

Verificando independência linear, o único escalar α que satisfaz α$ (E_{12}-E_{21}) $=0 é α=0. Logo {E_{12}-E_{21}} é LI e gera o subespaço, sendo base.

Passo 4

Como {E_{12}} não gera nem pertence ao subespaço (pois E_{12}^T = E_{21} ≠ –E_{12}), a afirmação dada é falsa.

Resposta

A afirmação está incorreta. O subespaço das matrizes 2×2 antissimétricas é de dimensão 1 e sua base correta é {E_{12} – E_{21}}, não {E_{12}}.

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