Dados
inteiros positivos, considere
a matriz
que possui todas as entradas nulas, exceto na posição
, que vale 1 . Verifique que:
é uma base para o subespaço das matrizes
anti-simétricas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o conjunto {E_{12}} é base do subespaço das matrizes 2×2 antissimétricas. O conteúdo envolvido é a descrição das matrizes antissimétricas e a noção de dimensão e base de um subespaço vetorial.
Passo 2
Uma matriz 2×2 A é antissimétrica se A^T = –A. Escrevendo A =
e impondo A^T = –A, obtemos a = –a e d = –d, logo a = d = 0, e b = –c.
Assim qualquer A antissimétrica tem a forma
Assim qualquer A antissimétrica tem a forma
Isso mostra que todo elemento do subespaço é múltiplo de
, portanto esse conjunto gera o subespaço.
Passo 3
Verificando independência linear, o único escalar α que satisfaz α$ (E_{12}-E_{21}) $=0 é α=0. Logo {E_{12}-E_{21}} é LI e gera o subespaço, sendo base.
Passo 4
Como {E_{12}} não gera nem pertence ao subespaço (pois E_{12}^T = E_{21} ≠ –E_{12}), a afirmação dada é falsa.
Resposta
A afirmação está incorreta. O subespaço das matrizes 2×2 antissimétricas é de dimensão 1 e sua base correta é {E_{12} – E_{21}}, não {E_{12}}.