Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^n. Justifique as suas respostas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto A=(x1,x2,dots,xn)inR^n mid x1+x2=0 é um subespaço vetorial de R^n. Para isso vamos usar o critério de subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob soma e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de R^n, ou seja (0,0,dots,0), pertence a A. Como 0+0=0, concluímos que o vetor zero está em A.

Passo 3

Analisamos a soma: tomemos u=(u1,u2,dots,un) e v=(v1,v2,dots,vn) em A. Então u1+u2=0 e v1+v2=0. Assim
(u+v)1+(u+v)2=(u1+v1)+(u2+v2)=(u1+u2)+(v1+v2)=0,
logo u+vin A, mostrando fechamento sob adição.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por escalar: para um escalar cinR e u=(u1,u2,dots,un)in A temos
(c,u)1+(c,u)2=c,u1+c,u2=c,(u1+u2)=ccdot0=0

Passo 5

Logo c,uin A, mostrando fechamento sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto A é um subespaço vetorial de R^n.

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