Dados m, n, p in N. Prove que:
m+p=n+p Leftrightarrow m=n

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a adição em N satisfaz a lei de cancelamento, isto é,
m+p = n+p iff m=n,
para quaisquer m,n,pinN. Vamos usar a definição recursiva da adição e indução em p.

Passo 2

Recordando a definição da adição em N pelos axiomas de Peano:
a + 0 = a,
a + S(b) = Sl(a+br)
Também usaremos que o sucessor é injetivo:
S(x) = S(y) implies x = y

Passo 3

Provar o sentido Rightarrow: se m + p = n + p então m = n, por indução em p.
1. Base ( p=0): como
m+0=m e n+0=n,
a igualdade m+0 = n+0 m = n.
2. Passo indutivo: suponha que para um certo p vale
m + p = n + p implies m = n
Considere p' = S(p). Se
m + S(p) = n + S(p)
então, pela definição da adição,
Sl(m+pr) = Sl(n+pr)
Pela injetividade do sucessor segue
m+p = n+p
e, pela hipótese de indução, m = n.

Passo 4

Provar o sentido Leftarrow: se m = n então m + p = n + p, por indução em p.
1. Base ( p=0): de m=n segue
m+0 = m = n = n+0
2. Passo indutivo: suponha que m=n implique m+p = n+p. Para p' = S(p),
m + S(p) = Sl(m+pr),
n + S(p) = Sl(n+pr)
Pela hipótese de indução m+p = n+p, logo
Sl(m+pr) = Sl(n+pr),
isto é,
m + S(p) = n + S(p)

Resposta

Concluímos que, em N,
m+p = n+p iff m = n,
isto é, a adição satisfaz a lei de cancelamento.

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