Dados
. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a adição em
satisfaz a lei de cancelamento, isto é,
para quaisquer
. Vamos usar a definição recursiva da adição e indução em
.
Passo 2
Recordando a definição da adição em
pelos axiomas de Peano:
Também usaremos que o sucessor é injetivo:
Passo 3
Provar o sentido
: se
então
, por indução em
.
1. Base ( ): como
1. Base (
a igualdade
dá
.
2. Passo indutivo: suponha que para um certo vale
2. Passo indutivo: suponha que para um certo
Considere
. Se
então, pela definição da adição,
Pela injetividade do sucessor segue
e, pela hipótese de indução,
.
Passo 4
Provar o sentido
: se
então
, por indução em
.
1. Base ( ): de
segue
1. Base (
2. Passo indutivo: suponha que
implique
. Para
,
Pela hipótese de indução
, logo
isto é,
Resposta
Concluímos que, em
,
isto é, a adição satisfaz a lei de cancelamento.