Questão ( 9 pts ) Considere a função
(a) Encontre os pontos, no intervalo
, onde a equação da reta tangente ao gráfico de
é horizontal.
(b) Explique porque a equação
tem solução no intervalo
.
Cálculos:
Resposta:
(a)
(b)
(b) Explique porque a equação
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa resolver duas partes dessa questão. Isso envolve cálculo, mais especificamente derivadas e propriedades das funções contínuas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de
, entender o que significa uma reta tangente ser horizontal e aplicar o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que a reta tangente ao gráfico de
seja horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, sua derivada é zero. Então, precisamos encontrar onde a derivada de
é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é 1 e a derivada de
é
. Portanto:
Passo 4
Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal, então vamos igualar a derivada a zero:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
no intervalo
onde
. Sabemos que
acontece nos ângulos de
e
.
Passo 7
Portanto, os pontos onde a reta tangente é horizontal são:
Passo 8
Para a parte (b), queremos mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores de sinais opostos nas extremidades, então existe pelo menos um ponto no meio onde a função é zero.
Passo 9
Vamos definir
. Sabemos que
é contínua porque é a soma de funções contínuas. Calculamos
e
.
Passo 10
Queremos encontrar
. Observamos que
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua e 5 está entre 0 e 6,283, deve existir pelo menos um
no intervalo
tal que
.
Resposta
(a) Os pontos no intervalo
onde a reta tangente ao gráfico de
é horizontal são:
(b) A equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
porque a função
é contínua nesse intervalo, e
enquanto
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir algum
entre 0 e
onde
.