4^a Questão ( 9 pts ) Considere a função
f(x)=x+2 sen x
(a) Encontre os pontos, no intervalo [0,2 pi], onde a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) é horizontal.
(b) Explique porque a equação x+2 sen x=5 tem solução no intervalo (0,2 pi).
Cálculos:
Resposta:
(a)
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função f(x) = x + 2 sin x e precisa resolver duas partes dessa questão. Isso envolve cálculo, mais especificamente derivadas e propriedades das funções contínuas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de f(x) , entender o que significa uma reta tangente ser horizontal e aplicar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta tangente ao gráfico de f(x) seja horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, sua derivada é zero. Então, precisamos encontrar onde a derivada de f(x) é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) . A derivada de x é 1 e a derivada de 2 sin x é 2 cos x . Portanto:
f'(x) = 1 + 2 cos x

Passo 4

Agora, queremos que a reta tangente seja horizontal, então vamos igualar a derivada a zero:
1 + 2 cos x = 0

Passo 5

Resolvendo para cos x :
2 cos x = -1 cos x = -12

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de x no intervalo [0, 2pi] onde cos x = -12 . Sabemos que cos x = -12 acontece nos ângulos de 2pi3 e 4pi3 .

Passo 7

Portanto, os pontos onde a reta tangente é horizontal são:
( 2pi3, f( 2pi3 ) ) e ( 4pi3, f( 4pi3 ) )

Passo 8

Para a parte (b), queremos mostrar que a equação x + 2 sin x = 5 tem pelo menos uma solução no intervalo (0, 2pi) . Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores de sinais opostos nas extremidades, então existe pelo menos um ponto no meio onde a função é zero.

Passo 9

Vamos definir g(x) = x + 2 sin x . Sabemos que g(x) é contínua porque é a soma de funções contínuas. Calculamos g(0) = 0 + 0 = 0 e g(2pi) = 2pi + 0 approx 6,283 .

Passo 10

Queremos encontrar g(x) = 5 . Observamos que g(0) = 0 < 5 e g(2pi) approx 6,283 > 5 . Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g(x) é contínua e 5 está entre 0 e 6,283, deve existir pelo menos um x no intervalo (0, 2pi) tal que g(x) = 5 .

Resposta

(a) Os pontos no intervalo [0, 2pi] onde a reta tangente ao gráfico de f(x) = x + 2 sin x é horizontal são:
( 2pi3, f( 2pi3 ) ) e ( 4pi3, f( 4pi3 ) )
(b) A equação x + 2 sin x = 5 tem pelo menos uma solução no intervalo (0, 2pi) porque a função g(x) = x + 2 sin x é contínua nesse intervalo, e g(0) = 0 < 5 enquanto g(2pi) approx 6,283 > 5 . Pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir algum x entre 0 e 2pi onde g(x) = 5 .

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