Seja Pn(K) o espaço dos polinômios de grau menor que n e seja Ah o operador diferença
Ah(p(x)):=p(x+h)-p(x)h
sendo h um número fixo não nulo. Ache o kernel e a imagem desse operador.

Passo 1

O exercício nos dá o espaço dos polinômios de grau menor que n, Pn(K), e o operador diferença
Ah(p(x))=p(x+h)-p(x)h,
com hneq0. Queremos encontrar o núcleo e a imagem de Ah. Para isso vamos usar a definição de núcleo e imagem de um operador linear, o comportamento de grau ao aplicar diferença finita e o teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para achar o núcleo, lembramos que p está em ker Ah se e só se
Ah(p(x))=0Long<=ftrightarrow p(x+h)-p(x)=0 para todo x
Isso significa que p é periódico de período h em todo K, forçando p a ser constante. Então
ker Ah=p(x)=c:,cinK,
ou seja, o espaço dos polinômios constantes.

Passo 3

Para a imagem, notamos que se p tem grau m>0, então na diferença finita o termo de maior grau cancela pelo binômio, e
degl(p(x+h)-p(x)r)=m-1
Logo Ah(p) tem grau no máximo m-1, e portanto
ImAhsubseteqPn-1(K)
Usando o teorema da dimensão, temos
dimPn(K)=n,dimker Ah=1,
então
dimImAh=n-1=dimPn-1(K)
Como a imagem está contida em Pn-1(K) e tem a mesma dimensão, concluímos que
ImAh=Pn-1(K)

Resposta

ker Ah=p(x)=c:,cinK e ImAh=Pn-1(K).

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