Seja
o espaço dos polinômios de grau menor que
e seja
o operador diferença
sendo
um número fixo não nulo. Ache o kernel e a imagem desse operador.
Passo 1
O exercício nos dá o espaço dos polinômios de grau menor que n,
, e o operador diferença
com
Passo 2
Para achar o núcleo, lembramos que
está em
se e só se
Isso significa que
ou seja, o espaço dos polinômios constantes.
Passo 3
Para a imagem, notamos que se
tem grau
, então na diferença finita o termo de maior grau cancela pelo binômio, e
Logo
Usando o teorema da dimensão, temos
então
Como a imagem está contida em
e tem a mesma dimensão, concluímos que