(Teorema de Isomorfismo) Prove que dada
uma transformação linear, então temos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma transformação linear
, o espaço quociente
é isomorfo à imagem
. Isso faz parte do Teorema Fundamental dos Homomorfismos em Álgebra Linear e vamos usar a ideia de passagem ao quociente.
Passo 2
Precisamos construir um mapa natural
dado por
. Antes de mais nada, temos que verificar que
está bem definido, isto é, se
, então
Passo 3
Para ver que
está bem definido, note que
implica
. Como
, temos
. Logo
Passo 4
Agora mostramos que
é linear. Sejam
e
. Então
Passo 5
Para injetividade, consideremos
. Então
, o que significa
e portanto
, o elemento zero em
. Logo o núcleo de
é trivial, garantindo injetividade.
Passo 6
Para sobrejetividade, tomemos qualquer
. Por definição de imagem, existe
tal que
. Então
Passo 7
Como
é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto, temos o isomorfismo desejado:
Resposta
Definindo
por
, mostramos que
é bem definido, linear, injetor e sobrejetor. Logo
.