(Teorema de Isomorfismo) Prove que dada T: U V uma transformação linear, então temos:
Uker(T) simeq Im(T)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma transformação linear T: U to V, o espaço quociente U/ker(T) é isomorfo à imagem Im(T). Isso faz parte do Teorema Fundamental dos Homomorfismos em Álgebra Linear e vamos usar a ideia de passagem ao quociente.

Passo 2

Precisamos construir um mapa natural phi: U/ker(T) to Im(T) dado por phil(u + ker(T)r) = T(u). Antes de mais nada, temos que verificar que phi está bem definido, isto é, se u + ker(T) = u' + ker(T), então T(u) = T(u')

Passo 3

Para ver que phi está bem definido, note que u + ker(T) = u' + ker(T) implica u - u' in ker(T). Como ker(T) = x : T(x)=0, temos T(u - u') =0. Logo
T(u) - T(u') = T(u - u') = 0 implies T(u)=T(u'), o que mostra a consistência de phi.

Passo 4

Agora mostramos que phi é linear. Sejam u,vin U e alphainK. Então
phil((u+ker(T)) + (v+ker(T))r) = phil((u+v)+ker(T)r) = T(u+v) = T(u) + T(v), e
phil(alpha (u+ker(T))r) = phil(alpha u + ker(T)r) = T(alpha u) = alpha T(u) Isso prova a linearidade de phi.

Passo 5

Para injetividade, consideremos phi(u + ker(T)) = 0. Então T(u)=0, o que significa uinker(T) e portanto u + ker(T) = ker(T), o elemento zero em U/ker(T). Logo o núcleo de phi é trivial, garantindo injetividade.

Passo 6

Para sobrejetividade, tomemos qualquer win Im(T). Por definição de imagem, existe uin U tal que T(u)=w. Então
phil(u+ker(T)r) = T(u) = w, o que mostra que phi atinge todo Im(T).

Passo 7

Como phi é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo de espaços vetoriais. Portanto, temos o isomorfismo desejado:
U/ker(T) simeq Im(T)

Resposta

Definindo phi: U/ker(T)toIm(T) por phi(u+ker(T))=T(u), mostramos que phi é bem definido, linear, injetor e sobrejetor. Logo U/ker(T)simeqIm(T).

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