Dados C \in \mathbb{R}^{2 \times 3} e D \in \mathbb{R}^{3 \times 2}, mostre que (C D)^{\top}=D^{\top} C^{\top}. Em seguida, para C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ -1 & 0 \\\\ 0 & 4 \end{array}\right], calcule C D e (C D)^{\top}, verificando a propriedade. Passo 1O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer matrizes C\in\mathbb{R}^{2\times3} e D\in\mathbb{R}^{3\times2}, vale a propriedade de transposição de produto: (CD)^{\top} = D^{\top}C^{\top}. Em seguida, com C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\[0.3em]0 & 3 & 1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em]-1 & 0 \\[0.3em]0 & 4\end{pmatrix}, precisamos calcular CD e (CD)^{\top}, e comparar com D^{\top}C^{\top}.] Passo 2Para provar (CD)^{\top}=D^{\top}C^{\top} usamos o argumento por componentes. Defina A=CD, de modo que A_{ij} = \sum_{k=1}^{3} C_{ik}\,D_{kj}. Então o elemento (j,i) de A^{\top} é (A^{\top})_{ji} = A_{ij} = \sum_{k=1}^{3} C_{ik}\,D_{kj} = \sum_{k=1}^{3} (D^{\top})_{jk}\,(C^{\top})_{ki} \;=\;(D^{\top}C^{\top})_{ji}. Como isso vale para todo i,j, segue A^{\top}=D^{\top}C^{\top}, ou seja, (CD)^{\top}=D^{\top}C^{\top}. Passo 3Agora calculamos o produto CD = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\[0.3em]0 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em]-1 & 0 \\[0.3em]0 & 4\end{pmatrix}. Cada entrada de CD é: (CD)_{11} = 1\cdot2 +(-1)\cdot(-1)+2\cdot0 = 2+1+0 = 3, (CD)_{12} = 1\cdot1 +(-1)\cdot0 +2\cdot4 = 1+0+8 = 9, (CD)_{21} = 0\cdot2 +3\cdot(-1)+1\cdot0 = 0-3+0 = -3, (CD)_{22} = 0\cdot1 +3\cdot0 +1\cdot4 = 0+0+4 = 4. Logo, CD = \begin{pmatrix}3 & 9 \\[0.3em]-3 & 4\end{pmatrix}.] Passo 4Em seguida, a transposta de CD é (CD)^{\top} = \begin{pmatrix}3 & -3 \\[0.3em]9 & 4\end{pmatrix}. Por outro lado, D^{\top} = \begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\[0.3em]1 & 0 & 4\end{pmatrix}, \quad C^{\top} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[0.3em]-1 & 3 \\[0.3em]2 & 1\end{pmatrix}, então D^{\top}C^{\top} =\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\[0.3em]1 & 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[0.3em]-1 & 3 \\[0.3em]2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -3 \\[0.3em]9 & 4\end{pmatrix}.] Resposta CD = \displaystyle\begin{pmatrix}3 & 9 \\[0.3em]-3 & 4\end{pmatrix} (CD)^{\top} = \displaystyle\begin{pmatrix}3 & -3 \\[0.3em]9 & 4\end{pmatrix} E observa-se que (CD)^{\top} = D^{\top}C^{\top}, confirmando a propriedade.] MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSejam A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right] . (a) Calcule A B e B A. (b) A B=B A ? (c) Calcule A^{2}-3 A+2 I_{2}. Resolva pelo método da eliminação gaussiana: \left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 2 x+3 y+z=10 \\\ x+2 y+3 z=13 \end{array}\right. (a) Apresente a matriz aumentada e o escalonamento. (b) Faça a retro-substituição. (c) Explique por que há solução única. Sejam E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right], \quad F=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad G=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 0 \end{array}\right] Verifique E(F+G)=E F+E G. Sejam A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right] . (a) Calcule A B e B A. (b) A B=B A ? (c) Calcule A^{2}-3 A+2 I_{2}.