Dados C \in \mathbb{R}^{2 \times 3} e D \in \mathbb{R}^{3 \times 2}, mostre que (C D)^{\top}=D^{\top} C^{\top}. Em seguida, para
C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\\\ -1 & 0 \\\\ 0 & 4 \end{array}\right],
calcule C D e (C D)^{\top}, verificando a propriedade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer matrizes C\in\mathbb{R}^{2\times3} e D\in\mathbb{R}^{3\times2}, vale a propriedade de transposição de produto:
(CD)^{\top} = D^{\top}C^{\top}.
Em seguida, com
C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\[0.3em]0 & 3 & 1\end{pmatrix}, \quad D=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em]-1 & 0 \\[0.3em]0 & 4\end{pmatrix},
precisamos calcular CD e (CD)^{\top}, e comparar com D^{\top}C^{\top}.]

Passo 2

Para provar (CD)^{\top}=D^{\top}C^{\top} usamos o argumento por componentes. Defina A=CD, de modo que
A_{ij} = \sum_{k=1}^{3} C_{ik}\,D_{kj}.
Então o elemento (j,i) de A^{\top} é
(A^{\top})_{ji} = A_{ij} = \sum_{k=1}^{3} C_{ik}\,D_{kj} = \sum_{k=1}^{3} (D^{\top})_{jk}\,(C^{\top})_{ki} \;=\;(D^{\top}C^{\top})_{ji}.
Como isso vale para todo i,j, segue A^{\top}=D^{\top}C^{\top}, ou seja, (CD)^{\top}=D^{\top}C^{\top}.

Passo 3

Agora calculamos o produto
CD = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2 \\[0.3em]0 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 \\[0.3em]-1 & 0 \\[0.3em]0 & 4\end{pmatrix}.
Cada entrada de CD é:
(CD)_{11} = 1\cdot2 +(-1)\cdot(-1)+2\cdot0 = 2+1+0 = 3,
(CD)_{12} = 1\cdot1 +(-1)\cdot0 +2\cdot4 = 1+0+8 = 9,
(CD)_{21} = 0\cdot2 +3\cdot(-1)+1\cdot0 = 0-3+0 = -3,
(CD)_{22} = 0\cdot1 +3\cdot0 +1\cdot4 = 0+0+4 = 4.
Logo,
CD = \begin{pmatrix}3 & 9 \\[0.3em]-3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Em seguida, a transposta de CD é
(CD)^{\top} = \begin{pmatrix}3 & -3 \\[0.3em]9 & 4\end{pmatrix}.
Por outro lado,
D^{\top} = \begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\[0.3em]1 & 0 & 4\end{pmatrix}, \quad C^{\top} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[0.3em]-1 & 3 \\[0.3em]2 & 1\end{pmatrix},
então
D^{\top}C^{\top} =\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\[0.3em]1 & 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\[0.3em]-1 & 3 \\[0.3em]2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -3 \\[0.3em]9 & 4\end{pmatrix}.]

Resposta

CD = \displaystyle\begin{pmatrix}3 & 9 \\[0.3em]-3 & 4\end{pmatrix} (CD)^{\top} = \displaystyle\begin{pmatrix}3 & -3 \\[0.3em]9 & 4\end{pmatrix}
E observa-se que (CD)^{\top} = D^{\top}C^{\top}, confirmando a propriedade.]

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