Sejam
E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right], \quad F=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad G=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 0 \end{array}\right]
Verifique E(F+G)=E F+E G.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix},\quad F=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 3 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad G=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 0\end{pmatrix},
e pede para verificar a propriedade distributiva da multiplicação, isto é
E\,(F+G)\;=\;E\,F\;+\;E\,G.
Vamos calcular cada lado separadamente.

Passo 2

Calcular F+G somando termo a termo:
F+G =\begin{pmatrix} 2+1 & 1+2 & 0+(-1)\\\\ 0+0 & -1+1 & 4+1\\\\ 3+2 & 0+(-2) & 1+0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & 5\\\\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular E\,(F+G). Como E é 2\times3 e F+G é 3\times3, o produto será 2\times3.
Primeira linha de E: (1,0,2).
  • Coluna 1: 1\cdot3+0\cdot0+2\cdot5=3+0+10=13
  • Coluna 2: 1\cdot3+0\cdot0+2\cdot(-2)=3+0-4=-1
  • Coluna 3: 1\cdot(-1)+0\cdot5+2\cdot1=-1+0+2=1
Segunda linha de E: (-1,3,1).
  • Coluna 1: -1\cdot3+3\cdot0+1\cdot5=-3+0+5=2
  • Coluna 2: -1\cdot3+3\cdot0+1\cdot(-2)=-3+0-2=-5
  • Coluna 3: -1\cdot(-1)+3\cdot5+1\cdot1=1+15+1=17
Logo
E\,(F+G) =\begin{pmatrix} 13 & -1 & 1\\\\ 2 & -5 & 17 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular primeiro E\,F e depois E\,G.
Para E\,F:
E\,F =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 4\\\\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 & 1 & 2\\\\ 1 & -4 & 13 \end{pmatrix}.
Para E\,G:
E\,G =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1\\\\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 5

Somar E\,F e E\,G termo a termo:
E\,F + E\,G =\begin{pmatrix} 8+5 & 1+(-2) & 2+(-1)\\\\ 1+1 & -4+(-1) & 13+4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 13 & -1 & 1\\\\ 2 & -5 & 17 \end{pmatrix}.

Passo 6

Observamos que
E\,(F+G) =\begin{pmatrix}13 & -1 & 1\\\ 2 & -5 & 17\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad E\,F+E\,G =\begin{pmatrix}13 & -1 & 1\\\ 2 & -5 & 17\end{pmatrix},
ou seja, ambos são iguais.

Resposta

Portanto, verifica-se que
E\,(F+G)\;=\;E\,F\;+\;E\,G.

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