Sejam
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 1 & 3 \end{array}\right] .
(a) Calcule A B e B A.
(b) A B=B A ?
(c) Calcule A^{2}-3 A+2 I_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede:
(a) calcular AB e BA;
(b) verificar se AB=BA;
(c) calcular A^{2} - 3A + 2I_{2}.
O conteúdo envolve definição de multiplicação de matrizes 2\times2, checar comutatividade e avaliar um polinômio em matriz usando a matriz identidade I_{2}.]

Passo 2

Para obter AB, usamos
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Logo,
AB = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + 2\cdot1 & 1\cdot0 + 2\cdot3 \\[6pt] 0\cdot2 + 1\cdot1 & 0\cdot0 + 1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\[4pt] 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para obter BA, análoga definição dá
BA = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 0\cdot0 & 2\cdot2 + 0\cdot1 \\[6pt] 1\cdot1 + 3\cdot0 & 1\cdot2 + 3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[4pt] 1 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Comparando
AB = \begin{pmatrix}4 & 6 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix},
vê-se que AB\neq BA. Logo, as matrizes não comutam.

Passo 5

Para calcular A^{2}-3A+2I_{2}, primeiro achamos
A^{2} = A\cdot A = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot0 & 1\cdot2 + 2\cdot1 \\[6pt] 0\cdot1 + 1\cdot0 & 0\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida,
-3A = -3\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & -6 \\\\ 0 & -3\end{pmatrix}, \quad 2I_{2} = 2\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
Somando tudo:
A^{2}-3A+2I_{2} = \begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 & -6 \\\\ 0 & -3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
AB = \begin{pmatrix}4 & 6 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 1 & 5\end{pmatrix}.
(b) Não, AB \neq BA.
(c)
A^{2} - 3A + 2I_{2} = \begin{pmatrix}0 & -2 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.

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