Expresse
em coordenadas cilíndricas e
em coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Expressar
em coordenadas cilíndricas. - Expressar
em coordenadas esféricas.
Informações dadas diretamente no enunciado:
- A função/expressão para
em termos de : . - A função/expressão para
em termos de : .
Passo 2
Definição das coordenadas cilíndricas (explicação didática simples e o que cada variável significa):
- As coordenadas cilíndricas usam
, onde: -
é a distância radial ao eixo (no plano ); -
é o ângulo azimutal no plano (medido a partir do eixo ); -
é a mesma coordenada usual (altura).
-
- As relações de conversão (do cartesiano
para cilíndrico) são:
Explicando: qualquer ponto no espaço tem projeção no plano
com raio
e ângulo
; a altura permanece
.
Passo 3
Substituir as expressões cilíndricas em
. Vou trocar cada
e
por suas expressões em
e
:
Agora organizar termo a termo:
Passo 4
Simplificar e escrever de forma mais compacta (explicando identidades usadas):
- Posso agrupar os termos com
:
- Observação útil:
. Usando isso, uma forma alternativa é
Ambas as formas são equivalentes; a primeira destaca os termos mistos
e
, a segunda usa a identidade trigonométrica para compactar o produto de cosseno e seno.
Passo 5
Definição das coordenadas esféricas (explicação didática e significados):
- As coordenadas esféricas usuais usam
, onde: -
é a distância do ponto à origem (raio); -
é o ângulo polar, isto é, o ângulo entre o vetor posição e o eixo (0 no polo norte ); -
é o ângulo azimutal no plano (mesmo das cilíndricas).
-
- As relações de conversão (do cartesiano
para esférico) são:
Explicando: a componente radial no plano
é
, que se decompõe em
e
para
e
.
Passo 6
Substituir as expressões esféricas em
. Troco
por suas fórmulas:
Passo 7
Fatorar
e simplificar as expressões trigonométricas (explicando cada passo):
Usando
, tem-se
. Então uma forma compacta é
Também se pode deixar expandido em termos de
e
se preferir: