Expresse V=x z-x y+y z em coordenadas cilíndricas e U=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2} em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Expressar V = x z - x y + y z em coordenadas cilíndricas.
  • Expressar U = x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2} em coordenadas esféricas.
Informações dadas diretamente no enunciado:
  • A função/expressão para V em termos de x,y,z: V = x z - x y + y z.
  • A função/expressão para U em termos de x,y,z: U = x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}.

Passo 2

Definição das coordenadas cilíndricas (explicação didática simples e o que cada variável significa):
  • As coordenadas cilíndricas usam (r,\theta,z), onde:
    • r é a distância radial ao eixo z (no plano xy);
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (medido a partir do eixo x);
    • z é a mesma coordenada z usual (altura).
  • As relações de conversão (do cartesiano (x,y,z) para cilíndrico) são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Explicando: qualquer ponto no espaço tem projeção no plano xy com raio r e ângulo \theta; a altura permanece z.

Passo 3

Substituir as expressões cilíndricas em V = x z - x y + y z. Vou trocar cada x e y por suas expressões em r e \theta:
V = (r\cos\theta)\,z - (r\cos\theta)(r\sin\theta) + (r\sin\theta)\,z.
Agora organizar termo a termo:
V = r z \cos\theta - r^{2}\cos\theta\sin\theta + r z \sin\theta.

Passo 4

Simplificar e escrever de forma mais compacta (explicando identidades usadas):
  • Posso agrupar os termos com r z:
V = r z(\cos\theta + \sin\theta) - r^{2}\cos\theta\sin\theta.
  • Observação útil: \cos\theta\sin\theta = \dfrac{1}{2}\sin(2\theta). Usando isso, uma forma alternativa é
V = r z(\cos\theta + \sin\theta) - \frac{r^{2}}{2}\sin(2\theta).
Ambas as formas são equivalentes; a primeira destaca os termos mistos rz e r^{2}, a segunda usa a identidade trigonométrica para compactar o produto de cosseno e seno.

Passo 5

Definição das coordenadas esféricas (explicação didática e significados):
  • As coordenadas esféricas usuais usam (\rho,\varphi,\theta), onde:
    • \rho é a distância do ponto à origem (raio);
    • \varphi é o ângulo polar, isto é, o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (0 no polo norte +z);
    • \theta é o ângulo azimutal no plano xy (mesmo \theta das cilíndricas).
  • As relações de conversão (do cartesiano (x,y,z) para esférico) são:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = \rho\cos\varphi.
Explicando: a componente radial no plano xy é \rho\sin\varphi, que se decompõe em \cos\theta e \sin\theta para x e y.

Passo 6

Substituir as expressões esféricas em U = x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}. Troco x,y,z por suas fórmulas:
\begin{aligned} U &= (\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2} + 2(\rho\sin\varphi\sin\theta)^{2} + 3(\rho\cos\varphi)^{2}\\[4pt] &= \rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + 2\rho^{2}\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta + 3\rho^{2}\cos^{2}\varphi. \end{aligned}]

Passo 7

Fatorar \rho^{2} e simplificar as expressões trigonométricas (explicando cada passo):
\begin{aligned} U &= \rho^{2}\Big(\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta + 2\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta + 3\cos^{2}\varphi\Big)\\[4pt] &= \rho^{2}\Big(\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta) + 3\cos^{2}\varphi\Big). \end{aligned}
Usando \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1, tem-se \cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta = 1+\sin^{2}\theta. Então uma forma compacta é
U = \rho^{2}\Big(\sin^{2}\varphi\big(1+\sin^{2}\theta\big) + 3\cos^{2}\varphi\Big).
Também se pode deixar expandido em termos de \sin^{2}\varphi e \sin^{2}\theta se preferir:
U = \rho^{2}\big(\sin^{2}\varphi + \sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta + 3\cos^{2}\varphi\big).]

Resposta

V(r,\theta,z)=r z(\cos\theta+\sin\theta)-r^{2}\cos\theta\sin\theta
U(\rho,\varphi,\theta)=\rho^{2}\Big(\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta)+3\cos^{2}\varphi\Big)

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