Se \mathbf{A}=5 \mathbf{a}_{x}+3 \mathbf{a}_{y}+2 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{B}=-\mathbf{a}_{x}+4 \mathbf{a}_{y}+6 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{C}=8 \mathbf{a}_{x}+2 \mathbf{a}_{y}, encontre os valores de \alpha e \beta tal que \alpha \mathbf{A}+\beta \mathbf{B}+\mathbf{C} é paralelo ao eixo y.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{A}=5\mathbf{a}_x+3\mathbf{a}_y+2\mathbf{a}_z,\qquad \mathbf{B}=-\mathbf{a}_x+4\mathbf{a}_y+6\mathbf{a}_z,\qquad \mathbf{C}=8\mathbf{a}_x+2\mathbf{a}_y+0\mathbf{a}_z.
Pede-se: encontrar os escalares \alpha e \beta tais que o vetor
\alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\mathbf{C}
seja paralelo ao eixo y.

Passo 2

O que significa um vetor ser paralelo ao eixo y? Significa que suas componentes nas direções x e z devem ser zero, e a componente na direção y pode ser qualquer valor (não necessariamente zero). Portanto precisamos impor as condições:
(\text{componente em }x)=0,\qquad (\text{componente em }z)=0.
Vamos calcular as componentes de \alpha\mathbf{A}+\beta\mathbf{B}+\mathbf{C} somando componente a componente. Para a componente x:
x:\\\ 5\alpha + (-1)\beta + 8 = 5\alpha-\beta+8.
Para a componente y:
y:\\\ 3\alpha + 4\beta + 2 = 3\alpha+4\beta+2.
Para a componente z:
z:\\\ 2\alpha + 6\beta + 0 = 2\alpha+6\beta.

Passo 3

Aplicando a condição de paralelo ao eixo y (zerar x e z), obtemos o sistema de equações:
5\alpha-\beta+8=0, \qquad 2\alpha+6\beta=0.
Essas duas equações são suficientes para determinar \alpha e \beta.

Passo 4

Resolvendo o sistema passo a passo.
Da segunda equação:
2\alpha+6\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha+3\beta=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha=-3\beta.
Substituindo \alpha=-3\beta na primeira equação:
5(-3\beta)-\beta+8=0 \quad\Rightarrow\quad -15\beta-\beta+8=0 \quad\Rightarrow\quad -16\beta+8=0.
Logo
\beta=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}.
E então
\alpha=-3\beta=-3\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom conferir): substituindo \alpha=-\tfrac{3}{2} e \beta=\tfrac{1}{2},
x: 5\Big(-\tfrac{3}{2}\Big)-\tfrac{1}{2}+8 = -\tfrac{15}{2}-\tfrac{1}{2}+8 = -\tfrac{16}{2}+8=0,
z: 2\Big(-\tfrac{3}{2}\Big)+6\Big(\tfrac{1}{2}\Big) = -3+3=0,
y: 3\Big(-\tfrac{3}{2}\Big)+4\Big(\tfrac{1}{2}\Big)+2 = -\tfrac{9}{2}+2+2 = -\tfrac{1}{2}.
O vetor resultante é -\tfrac{1}{2}\mathbf{a}_y, que é de fato paralelo ao eixo y. Boa — deu certo!

Resposta

\alpha=-\dfrac{3}{2}
\beta=\dfrac{1}{2}

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