Se \mathbf{A}=2 \mathbf{a}_{x}+\mathbf{a}_{y}-3 \mathbf{a}_{z}, \mathbf{B}=\mathbf{a}_{y}-\mathbf{a}_{z}, \mathbf{C}=3 \mathbf{a}_{x}+5 \mathbf{a}_{y}+7 \mathbf{a}_{z}. Determine:
(e) \frac{1}{2} \mathbf{B} \times\left(\frac{1}{3} \mathbf{A}+\frac{1}{4} \mathbf{C}\right).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em termos dos versores ortonormais \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y,\mathbf{a}_z e pede um produto vetorial escalado. Dados (pegos do enunciado):
\mathbf{A}=2\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y-3\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{B}=\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_z, \qquad \mathbf{C}=3\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+7\mathbf{a}_z.
O que se pede:
\frac{1}{2}\,\mathbf{B}\times\Big(\frac{1}{3}\mathbf{A}+\frac{1}{4}\mathbf{C}\Big).

Passo 2

Primeiro calculo os vetores escalados \frac{1}{3}\mathbf{A} e \frac{1}{4}\mathbf{C} componente a componente. Lembrando que basta dividir cada componente por 3 ou por 4, respectivamente.
\frac{1}{3}\mathbf{A}=\frac{1}{3}\big(2\mathbf{a}_x+\mathbf{a}_y-3\mathbf{a}_z\big) = \frac{2}{3}\mathbf{a}_x+\frac{1}{3}\mathbf{a}_y-1\mathbf{a}_z.
\frac{1}{4}\mathbf{C}=\frac{1}{4}\big(3\mathbf{a}_x+5\mathbf{a}_y+7\mathbf{a}_z\big) = \frac{3}{4}\mathbf{a}_x+\frac{5}{4}\mathbf{a}_y+\frac{7}{4}\mathbf{a}_z.

Passo 3

Agora somo \frac{1}{3}\mathbf{A} com \frac{1}{4}\mathbf{C} componente a componente. Faço cada componente separadamente para evitar erro com frações.
Para a componente x:
\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}.
Para a componente y:
\frac{1}{3}+\frac{5}{4}=\frac{4}{12}+\frac{15}{12}=\frac{19}{12}.
Para a componente z:
-1+\frac{7}{4}=-\frac{4}{4}+\frac{7}{4}=\frac{3}{4}.
Portanto chamo esse vetor de \mathbf{D}:
\mathbf{D}=\frac{1}{3}\mathbf{A}+\frac{1}{4}\mathbf{C}=\frac{17}{12}\mathbf{a}_x+\frac{19}{12}\mathbf{a}_y+\frac{3}{4}\mathbf{a}_z.

Passo 4

Vou calcular o produto vetorial \mathbf{B}\times\mathbf{D}. Lembrando a regra componente a componente para dois vetores \mathbf{U}=(U_x,U_y,U_z) e \mathbf{V}=(V_x,V_y,V_z):
\mathbf{U}\times\mathbf{V}= \big(U_yV_z-U_zV_y\big)\mathbf{a}_x +\big(U_zV_x-U_xV_z\big)\mathbf{a}_y +\big(U_xV_y-U_yV_x\big)\mathbf{a}_z.
Também lembro que \mathbf{B}=(0,1,-1) nas componentes (x,y,z) porque \mathbf{B}=\mathbf{a}_y-\mathbf{a}_z. E \mathbf{D}=\big(\tfrac{17}{12},\tfrac{19}{12},\tfrac{3}{4}\big).

Passo 5

Aplico a fórmula componente a componente com \mathbf{B}=(0,1,-1) e \mathbf{D}=(\tfrac{17}{12},\tfrac{19}{12},\tfrac{3}{4}).
Componente x:
B_y D_z - B_z D_y =1\cdot\frac{3}{4} - (-1)\cdot\frac{19}{12} =\frac{3}{4}+\frac{19}{12} =\frac{9}{12}+\frac{19}{12} =\frac{28}{12}=\frac{7}{3}.
Componente y:
B_z D_x - B_x D_z =(-1)\cdot\frac{17}{12}-0\cdot\frac{3}{4} =-\frac{17}{12}.
Componente z:
B_x D_y - B_y D_x =0\cdot\frac{19}{12}-1\cdot\frac{17}{12} =-\frac{17}{12}.
Logo
\mathbf{B}\times\mathbf{D}=\frac{7}{3}\mathbf{a}_x-\frac{17}{12}\mathbf{a}_y-\frac{17}{12}\mathbf{a}_z.

Passo 6

Falta multiplicar por \tfrac{1}{2} conforme o enunciado. Multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente pelo mesmo escalar:
\frac{1}{2}\big(\mathbf{B}\times\mathbf{D}\big) =\frac{1}{2}\left(\frac{7}{3}\mathbf{a}_x-\frac{17}{12}\mathbf{a}_y-\frac{17}{12}\mathbf{a}_z\right).
Calculando cada componente:
\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{3}=\frac{7}{6}, \qquad \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{17}{12}\right)=-\frac{17}{24}, \qquad \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{17}{12}\right)=-\frac{17}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{6}\mathbf{a}_x-\frac{17}{24}\mathbf{a}_y-\frac{17}{24}\mathbf{a}_z

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