Dados \mathrm{u}=(1,-1), \mathrm{v}=(2,0) e \mathrm{w}=(3,-2), determine:
|3 u+5 v|

Passo 1

O enunciado dá os vetores \mathbf{u}=(1,-1), \mathbf{v}=(2,0) e \mathbf{w}=(3,-2). Pede-se o comprimento (norma) do vetor 3\mathbf{u}+5\mathbf{v}, ou seja calcular \lvert 3\mathbf{u}+5\mathbf{v}\rvert.

Passo 2

Vamos relembrar como operar com vetores no plano de forma bem prática e sem mistério:
  • Multiplicação por escalar: se \mathbf{a}=(a_1,a_2) e k é um número, então k\mathbf{a}=(ka_1,ka_2). Ou seja, multiplica-se cada componente por k.
  • Soma de vetores: se \mathbf{a}=(a_1,a_2) e \mathbf{b}=(b_1,b_2), então \mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2). Soma componente a componente.
  • Norma (comprimento) no plano: para \mathbf{z}=(z_1,z_2) vale \lvert\mathbf{z}\rvert=\sqrt{z_1^2+z_2^2}. Isso vem do Teorema de Pitágoras: o vetor forma um triângulo retângulo com catetos z_1 e z_2.

Passo 3

Aplicando multiplicação por escalar aos vetores dados:
3\mathbf{u}=3(1,-1)=(3\cdot1,\,3\cdot(-1))=(3,-3).

Passo 4

E agora o outro escalar:
5\mathbf{v}=5(2,0)=(5\cdot2,\,5\cdot0)=(10,0).

Passo 5

Somamos os dois vetores obtidos (soma componente a componente):
3\mathbf{u}+5\mathbf{v}=(3,-3)+(10,0)=(3+10,\,-3+0)=(13,-3).

Passo 6

Agora calculamos a norma do vetor (13,-3) usando a fórmula da norma:
\lvert(13,-3)\rvert=\sqrt{13^{2}+(-3)^{2}}.

Passo 7

Fazendo as contas dentro da raiz:
13^{2}=169,\qquad (-3)^{2}=9,
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13^{2}+(-3)^{2}=169+9=178.

Passo 8

Portanto a norma é
\lvert 3\mathbf{u}+5\mathbf{v}\rvert=\sqrt{178}.
Observação útil para a prova: tente sempre montar os passos assim (escalar → somar componentes → aplicar Pitágoras). Isso evita erros e é rápido de fazer sem calculadora.

Resposta

\sqrt{178}

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