Determine os escalares c_{1} e c_{2} tais que: c_{1}(2,-1)+c_{2}(-1,-1)=(5,-1).

Passo 1

O enunciado dá a combinação linear de dois vetores e pede os escalares que a produzem. Informações fornecidas:
  • Vetores e escalares: c_{1}, c_{2}.
  • Vetores: (2,-1) e (-1,-1).
  • Igualdade pedida:
c_{1}(2,-1)+c_{2}(-1,-1)=(5,-1).
O que se pede:
  • Determinar os valores de c_{1} e c_{2} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Entender a igualdade de vetores: dois vetores são iguais quando suas componentes correspondentes são iguais. Primeiro calcule a soma ponderada dos vetores:
c_{1}(2,-1)+c_{2}(-1,-1)=(2c_{1}-c_{2},\,-c_{1}-c_{2}).
Igualando componente a componente com (5,-1) obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} 2c_{1}-c_{2}=5,\\[4pt] -c_{1}-c_{2}=-1. \end{cases}]

Passo 3

Escolha do método: aqui o sistema é 2×2 e simples; o método de substituição é prático e direto. A ideia é isolar uma variável numa equação e substituir na outra.

Passo 4

Isolar c_{2} a partir da segunda equação. Partindo de
-c_{1}-c_{2}=-1,
multiplicando por -1 ou reorganizando termos obtemos
c_{1}+c_{2}=1.
Logo
c_{2}=1-c_{1}.

Passo 5

Substituir c_{2}=1-c_{1} na primeira equação 2c_{1}-c_{2}=5:
2c_{1}-(1-c_{1})=5.
Desenvolvendo os parênteses:
2c_{1}-1+c_{1}=5.
Somando termos semelhantes:
3c_{1}-1=5.
Isolando c_{1}:
3c_{1}=6\quad\Rightarrow\quad c_{1}=2.

Passo 6

Calcular c_{2} usando c_{2}=1-c_{1}:
c_{2}=1-2=-1.

Passo 7

Verificação rápida: inserir c_{1}=2 e c_{2}=-1 na combinação original:
2(2,-1)+(-1)(-1,-1)=(4,-2)+(1,1)=(5,-1),
que coincide com o vetor pedido. Portanto a solução está correta.

Passo 8

Comentário final e incentivo: o sistema 2×2 aqui é bem direto — sempre que tiver uma combinação linear igual a um vetor, faça componente a componente e resolva o sistema. Tá indo bem, continua praticando que pega rápido!

Resposta

c_{1}=2
c_{2}=-1

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